Problema di geometria (fascio di rette parallele)..

[Antonio_Esposito95]

Il segmento che congiunge i punti medi delle diagonali di un trapezio è uguale alla semidifferenza delle basi



i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso sono i vertici di un parallelogrammo.

[Daniela Anastasia]

ABCD trapezio isoscele di base maggiore AB, base minore DC e diagonai AC e BD
M punto medio di AC => AM = MC
N punto medio di BD => BN = ND

Tesi: MN = (AB - DC)/2

Dimostrazione:
Congiungi M con N. Prolunga dalla parte di M fino ad incontrare AD in P e dalla parte di N fino ad incontrare BC in Q. Sia O l'intersezione delle diagonali.

I triangoli isosceli DOC e AOB sono simili per avere gli angoli ordinatamente congruenti.
DO : OA = OC : OB
Ma DN = NB,= MA = MB per ipotesi, quindi
AM : NB = OM : ON per differenza di segmenti congruenti.
Allora OMN è un triangolo isoscele simile ad AOB e a DOC e MN è parallelo ad AD e a DC
Risulta allora
DP : PA = DN : NB
ma DN = NB per ipotesi, quindi anche DP = PA
La stessa dimostrazione porta a CQ = QB:
CQ : QB = CM : MA
ma CM = MA per ipotesi, quindi anche CQ = QB
e poiché il trapezio è isoscele è
DP = PA = CQ = QB

Per la similitudine di APM e ADC è
PM = DC/2
Per la similitudine di PDN e ADB è
PN = AB/2
Sottrai membro a membro ed ottieni
PN - PM = (AB - DC)/2
ovvero
MN = (AB - DC)/2
cvd


2) ipotesi:
ABCD quadrilatero convesso
AM = BM
BN = NC
CP = PD
DQ = QA

tesi:
MNPQ parallelogramma.

Dimostrazione:
Traccia la diagonale BD del quadrilatero.
Nel triangolo ABD, MQ unisce i punti medi di AB e AD e risulta quindi
MQ // BD
MQ = BD/2

Nel triangolo BCD, NP unisce i punti medi di BC e DC e risulta quindi
NP // BD
NP = BD/2

Poiché MQ e NP sono entrambi paralleli a BD, risulta
MQ // NP

Poiché MQ = BD/2 e NP = BD/2, risulta
MQ = NP

Il quadrilatero MNPQ ha due lati opposti paralleli e congruenti e questo dimostra che è un parallelogramma.

ciao

@ fai attenzione al primo esercizio: il parallelismo tra MN e AB va dimostrato, come pure la congruenza dei segmenti dati dai punti medi dei lati del trapezio.
Spero di esserti stata d'aiuto!

[ale92t]

Daniela Anastasia le vogliamo citare le fonti?

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110513082923AAsyjJZ