Problema di geometria ed equazioni:)
Un grande saluto a tutti! ^^
Domani ho compito in classe di matematica riguardo la risoluzione di problemi tramite equazioni, disequazioni e sistemi, di 1° e 2° grado. Mi sono impappinata in una maniera impressionante su questo problema, che dice: "Nel triangolo isoscele acutangolo ABC di base AB, la perpendicolare al lato BC, condotta per B, incontra il prolungamento del lato AC in D; il segmento BD è il doppio del segmento AD. Determinare le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo CBD sapendo che la sua area è di 24hmq (un gigante questo triangolo
^^)"
Per prima cosa ho fatto la figura e ho capito che devo risolverlo con un sistema di 2° grado (beh... a dir la verità l'ho capito perchè questo esercizio era sotto la scritta "Problemi di grado superiore al primo con due o più incognite", ma tralasciamo questi piccoli particolari ^^).
Ho chiamato AD con $ x $ e BC con $ y $, quindi $ DB=2x $ . Ho provato a costruire un'equazione da mettere nel sistema: $ (2xy)/2=24 rArr xy=24 $. Però ho problemi ad andare avanti con un'altra equazione. Ho pensato di utilizzare Pitagora e quindi $ x+y=sqrt(4x^2+y^2) $ <--- ma non so risolverla, cosa ci faccio con quella brutta radice (:smt019), sotto ci sono le incognite!
Potreste aiutarmi un po' per favore?
Grazie in anticipo ^^
Un bacio
- Fiammetta
Domani ho compito in classe di matematica riguardo la risoluzione di problemi tramite equazioni, disequazioni e sistemi, di 1° e 2° grado. Mi sono impappinata in una maniera impressionante su questo problema, che dice: "Nel triangolo isoscele acutangolo ABC di base AB, la perpendicolare al lato BC, condotta per B, incontra il prolungamento del lato AC in D; il segmento BD è il doppio del segmento AD. Determinare le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo CBD sapendo che la sua area è di 24hmq (un gigante questo triangolo
^^)"Per prima cosa ho fatto la figura e ho capito che devo risolverlo con un sistema di 2° grado (beh... a dir la verità l'ho capito perchè questo esercizio era sotto la scritta "Problemi di grado superiore al primo con due o più incognite", ma tralasciamo questi piccoli particolari ^^).
Ho chiamato AD con $ x $ e BC con $ y $, quindi $ DB=2x $ . Ho provato a costruire un'equazione da mettere nel sistema: $ (2xy)/2=24 rArr xy=24 $. Però ho problemi ad andare avanti con un'altra equazione. Ho pensato di utilizzare Pitagora e quindi $ x+y=sqrt(4x^2+y^2) $ <--- ma non so risolverla, cosa ci faccio con quella brutta radice (:smt019), sotto ci sono le incognite!
Potreste aiutarmi un po' per favore?
Grazie in anticipo ^^
Un bacio
- Fiammetta
Risposte
Per mandare via la "brutta radice" basta elevare tutto al quadrato. In generale, quando si usa il teorema di Pitagora per ottenere un'equazione, si sceglie la forma senza radici ("il quadrato dell'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei cateti").
Aahn! Accipicchia avrei potuto essere più scaltra ^^
Ok, grazie, proverò a risolvere quel sistema più tardi, ora ho un'altra domandina piccina piccina: nelle equazioni letterali fratte le C.E. valgono per i parametri e le C.A. per le incognite, giusto? O sono uguali C.E. e C.A.? =S
Ok, grazie, proverò a risolvere quel sistema più tardi, ora ho un'altra domandina piccina piccina: nelle equazioni letterali fratte le C.E. valgono per i parametri e le C.A. per le incognite, giusto? O sono uguali C.E. e C.A.? =S
Credo che sia una faccenda di linguaggio. Alle superiori indicavo con campo di esistenza (oppure dominio) l'insieme delle soluzioni (delle $x$, se preferisci) ammissibili, mentre le condizioni sui parametri mi portavano a dire che per opportuni valori l'equazione perdeva significato. Ad esempio:
$1/(x-3)=x/(a-1)$.
Il campo di esistenza è $x!=3$, mentre per $a=1$ l'equazione perde significato.
$1/(x-3)=x/(a-1)$.
Il campo di esistenza è $x!=3$, mentre per $a=1$ l'equazione perde significato.
"Fiammetta.Cerise":
nelle equazioni letterali fratte le C.E. valgono per i parametri e le C.A. per le incognite, giusto?
ciao
provo ad interpretare C.E.= condizioni di esistenza e C.A.= condizioni di accettabilità? Credo sia una questione di terminologia.
In sostanza devi porre diverso da zero il minimo comun denominatore delle frazioni, sia che contenga l'incognita, sia che contega il parametro o i parametri.
edit:
bruciato sul tempo...
Ok grazie a tutti e due ^^
Comunque, impostando il sistema del problema iniziale, ho:
$ { ( x^2+y^2+2xy=4x^2+y^2 ),( xy=24 ):} rArr { ( -3x^2+ 2xy=0 ),( xy=24 ):} rArr { ( x^2=(-48)/(-3) ),( xy=24 ):} rArr{ ( x=pm 4 ),( xy=24 ):} $
Ora mi esce $ { ( x=4 ),( 4y=24 ):} vv { ( x=-4 ),( -4y=24 ):} rArr { ( x=4 ),( y=6 ):} vv { ( x=-4 ),( y=-6 ):} $. No eh?
Comunque, impostando il sistema del problema iniziale, ho:
$ { ( x^2+y^2+2xy=4x^2+y^2 ),( xy=24 ):} rArr { ( -3x^2+ 2xy=0 ),( xy=24 ):} rArr { ( x^2=(-48)/(-3) ),( xy=24 ):} rArr{ ( x=pm 4 ),( xy=24 ):} $
Ora mi esce $ { ( x=4 ),( 4y=24 ):} vv { ( x=-4 ),( -4y=24 ):} rArr { ( x=4 ),( y=6 ):} vv { ( x=-4 ),( y=-6 ):} $. No eh?
No o mi stanno andando in fumo quei pochi neuroni rimasti oppure sono proprio una stupidina ^^
Come fanno a venirmi due segmenti che misurano -6hm e -4hm? E' possibile anche in Matematica o solo nella mia testa? =)
Sennò il mio istinto mi dice di escludere quelle due soluzioni negative e di prendere in considerazione solo quelle positive. Ma molte volte fallisce x)
(Prevedo un bel 4 domani
)
Come fanno a venirmi due segmenti che misurano -6hm e -4hm? E' possibile anche in Matematica o solo nella mia testa? =)
Sennò il mio istinto mi dice di escludere quelle due soluzioni negative e di prendere in considerazione solo quelle positive. Ma molte volte fallisce x)
(Prevedo un bel 4 domani
)
L'Algebra ha un grande cuore e ti dà molto di più di quello che le chiedi, anche se vuoi solo le soluzioni positive, lei ti dà comunque tutto quello che può.
Vuoi solo le soluzioni positive? Allora quando scrivi $AD=x$, aggiungi con $x>0$. Così le soluzione negative saranno scartate di conseguenza.
Vuoi solo le soluzioni positive? Allora quando scrivi $AD=x$, aggiungi con $x>0$. Così le soluzione negative saranno scartate di conseguenza.
esatto, devi escludere le soluzioni senza un senso fisico.
non disperare ...
non hai fatto errori di calcolo quindi il risultato è corretto.
Ovviamente le soluzioni negative devono essere scartate in quanto non esistono segmenti negativi, prima di iniziare il problema a rigore avresti dovuto imporre
le condizioni x>0 e y>0. Spesso in problemi di questo tipo é necessario tener presente le limitazioni del problema. a dimenticavo in bocca al lupo per il compito!
non hai fatto errori di calcolo quindi il risultato è corretto.
Ovviamente le soluzioni negative devono essere scartate in quanto non esistono segmenti negativi, prima di iniziare il problema a rigore avresti dovuto imporre
le condizioni x>0 e y>0. Spesso in problemi di questo tipo é necessario tener presente le limitazioni del problema. a dimenticavo in bocca al lupo per il compito!
Wooooow non ci credo mi esce giusto, che bello ^^.Ok mi devo ricordare di imporre le condizioni per i segmenti, grazie!
Ora mi sono di nuovi impappinata in questa specie di sistema, non so bene come si possa definire ^^
"Si determinino i valori di a per i quali l'equazione biquadratica:
$ (2a^2-1)x^4-2(a-1)x^2-2=0 $
ha solo due radici opposte.
Allora, io prima di tutto ho giocato un po' con i segni (lo faccio sempre, mi diverte perchè è una delle poche cose che faccio con sicurezza assoluta ^^) e ho cambiato il - di $ -2(a-1) $ in $ 2(1-a) $. Poi però mi sono accorta che avevo fatto una stupidata, ho cancellato tutto e sono ripartita dall'inizio.
Bene. L'istinto di prima mi dice di porre il discriminante dell'equazione positivo. Aaaanzi, sono fortunata perchè si può calcolare persino il Delta/4 (non so come si scrive il delta in greco =S). Quindi $ (a-1)^2+2(2a^2-1) >= 0 rArr 5a^2-2a-1 >= 0 rArr { ( a <= (1-sqrt(6))/5 ),( a >= (1+sqrt(6))/5 ):} $
Bene, detto questo ne ricavo solo un vuoto assoluto =(
Tieni conto di questo: l'equazione è biquadratica
Questo vuol dire che, se $x_1$ è una soluzione dell'equazione, anche il suo opposto, ovvero $-x_1$, sarà soluzione dell'equazione
Ti consiglio inoltre di fare la sostituzione $y=x^2$... così magari riesci a vedere meglio quello che voglio dire... Ovviamente, se hai ancora dei problemi, chiedi pure
Questo vuol dire che, se $x_1$ è una soluzione dell'equazione, anche il suo opposto, ovvero $-x_1$, sarà soluzione dell'equazione
Ti consiglio inoltre di fare la sostituzione $y=x^2$... così magari riesci a vedere meglio quello che voglio dire... Ovviamente, se hai ancora dei problemi, chiedi pure
Ok, ho capito, ho sostituito. Mmm, no, non ho tanto capito ^^. Potrei usare anche la regola di Cartesio e ragionare sulle permanenze e sulle variazioni? =S
Effettua la sostituzione suggerita da Gi8, lavora con l'equazione di secondo grado in tal modo ottenuta ed infine lavora sul [tex]\Delta[/tex] di quest'ultima per ottenere una sola soluzione.
P.S.
Il [tex]\Delta[/tex] lo ottieni mettendo i dollari alla parola "Delta".
P.S.
Il [tex]\Delta[/tex] lo ottieni mettendo i dollari alla parola "Delta".
$ (2a^2-1)t^2-2(a-1)t-2=0 $ <-- Eccola là ^^
Io a questo punto, visto che il terzo coefficiente è sempre negativo e che l'equazione deve avere una variazione e una permanenza, $ -2a^2-1>0 $ , quindi:
$ { ( 2a^2-1>0 ),( -2(a-1)<0 ):} vv { ( 2a^2-1>0 ),( -2(a-1)>0 ):} $
Non è giusto?
E dopo non escono due sistemi a tre disequazioni (perchè devo metterci anche le condizione del discriminante) legati da una disgiunzione?
Mi va in fumo il cervello =)
Io a questo punto, visto che il terzo coefficiente è sempre negativo e che l'equazione deve avere una variazione e una permanenza, $ -2a^2-1>0 $ , quindi:
$ { ( 2a^2-1>0 ),( -2(a-1)<0 ):} vv { ( 2a^2-1>0 ),( -2(a-1)>0 ):} $
Non è giusto?
E dopo non escono due sistemi a tre disequazioni (perchè devo metterci anche le condizione del discriminante) legati da una disgiunzione?
Mi va in fumo il cervello =)
Se imponi al $Delta$ la giusta condizione per ottenere 2 soluzioni reali e coincidenti e tieni poi conto del fatto che la sostituzione che ti hanno suggerito $y=x^2$ vale per $y>0$ troverai facilmente quello che ti viene richiesto...
Ciao!
Ciao!
Fra tutti, non state complicando inutilmente le cose? Giustamente Fiammetta nota che ci deve essere un variazione e una permanenza, e per questo è necessario e sufficiente che primo e ultimo coefficiente abbiano segno opposto (e allora il discriminante è certo positivo): quindi basta imporre $2a^2-1>0$.
A parte, considererei anche l'uguale a zero: l'equazione in y (o t) diventa di primo grado e se ha una soluzione positiva, va bene.
A parte, considererei anche l'uguale a zero: l'equazione in y (o t) diventa di primo grado e se ha una soluzione positiva, va bene.
Oggi ho finalmente fatto il compito (alla 5° ora -.-') e non so come andata sinceramente ^^.
C'era un problema che diceva: Per abbellire una coperta rettangolare di area 5,72 mq, è stato cucito un pizzo di 9,6 m sui quattro lati. Individuare le dimensioni della coperta.
Allora io ho fatto così:
9,6:2=4,8 m (semiperimetro della coperta)
Ho quindi la somma e il prodotto di due numeri. Applico $ x^2-sx+p=0 rArr x^2-4,8x+5,72=0 $. Ho svolto l'equazione e mi è uscito 2,6 e 2,2 m. Può essere giusto come procedimento? (Speriamo >.<).
C'era un problema che diceva: Per abbellire una coperta rettangolare di area 5,72 mq, è stato cucito un pizzo di 9,6 m sui quattro lati. Individuare le dimensioni della coperta.
Allora io ho fatto così:
9,6:2=4,8 m (semiperimetro della coperta)
Ho quindi la somma e il prodotto di due numeri. Applico $ x^2-sx+p=0 rArr x^2-4,8x+5,72=0 $. Ho svolto l'equazione e mi è uscito 2,6 e 2,2 m. Può essere giusto come procedimento? (Speriamo >.<).
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