Problema di geometria con la circonferenza
Salve, il problema su cui desidererei un parere è il seguente:
“È data una circonferenza di diametro $AB=12cm$. Sia $H$ un punto di $AB$ e siano $C$ e $D$ le intersezioni della perpendicolare ad $AB$ passante per $H$ con la circonferenza. Detto $P$ il punto di intersezione delle tangenti alla circonferenza condotte da $C$e da $D$, dimostra che $P$ giace sulla retta $AB$ e determina l’area del quadrilatero $PCBD$, sapendo che $PB=6AH$ ”
Soluzione area riportata: “ $96* sqrt(2) cm^2 $ oppure $54*sqrt(3) cm^2 $”
Il mio approccio per la dimostrazione dell’appartenenza di $P$ alla retta prevede di usare la definizione di asse di $CD$ come luogo geometrico, dimostrando che $A$,$B$ e $P$ siano equidistanti dagli estremi della corda $CD$, in quanto segue $H$ è supposto tra l’estremo del diametro $A$ e il centro della circonferenza $O$:
$PC=PD$ per il teorema delle tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno
$AC=AD$ per la congruenza secondo il primo criterio dei triangoli rettangoli tra i triangoli $CHA$ e $HDA$
$CB=DB$ per la congruenza secondo il primo criterio dei triangoli rettangoli tra i triangoli $CBH$ e $HBD$
Per quanto riguarda il calcolo dell’area emerge la difficoltà, la base su cui ho provato varie sostituzioni è $Area= PB*CH$ , il capitolo in cui è inserito il problema si incentra inoltre su pitagora e su euclide eppure osservando anche per esempio che dovrebbe valere $CH^2 =AH*HB$ non riesco a giungere ad un risultato, al punto di dubitare di un dato mancante.
“È data una circonferenza di diametro $AB=12cm$. Sia $H$ un punto di $AB$ e siano $C$ e $D$ le intersezioni della perpendicolare ad $AB$ passante per $H$ con la circonferenza. Detto $P$ il punto di intersezione delle tangenti alla circonferenza condotte da $C$e da $D$, dimostra che $P$ giace sulla retta $AB$ e determina l’area del quadrilatero $PCBD$, sapendo che $PB=6AH$ ”
Soluzione area riportata: “ $96* sqrt(2) cm^2 $ oppure $54*sqrt(3) cm^2 $”
Il mio approccio per la dimostrazione dell’appartenenza di $P$ alla retta prevede di usare la definizione di asse di $CD$ come luogo geometrico, dimostrando che $A$,$B$ e $P$ siano equidistanti dagli estremi della corda $CD$, in quanto segue $H$ è supposto tra l’estremo del diametro $A$ e il centro della circonferenza $O$:
$PC=PD$ per il teorema delle tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno
$AC=AD$ per la congruenza secondo il primo criterio dei triangoli rettangoli tra i triangoli $CHA$ e $HDA$
$CB=DB$ per la congruenza secondo il primo criterio dei triangoli rettangoli tra i triangoli $CBH$ e $HBD$
Per quanto riguarda il calcolo dell’area emerge la difficoltà, la base su cui ho provato varie sostituzioni è $Area= PB*CH$ , il capitolo in cui è inserito il problema si incentra inoltre su pitagora e su euclide eppure osservando anche per esempio che dovrebbe valere $CH^2 =AH*HB$ non riesco a giungere ad un risultato, al punto di dubitare di un dato mancante.
Risposte
voglio lasciare il forum in bellezza
la prima parte va bene; forse però è meglio dire,anche se è banale, perchè $bar(DH)=bar(CH)$
posto $ bar(AH) =x$ e quindi $ bar(OH) =6-x$ ,con Pitagora applicato al triangolo $DOH$ hai $bar(DH)^2=12x-x^2$
applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo $ODP$ hai $bar(PH)= (12x-x^2)/(6-x)$
e quindi
$(12x-x^2)/(6-x)+6-x+6=6x$
etc....
la prima parte va bene; forse però è meglio dire,anche se è banale, perchè $bar(DH)=bar(CH)$
posto $ bar(AH) =x$ e quindi $ bar(OH) =6-x$ ,con Pitagora applicato al triangolo $DOH$ hai $bar(DH)^2=12x-x^2$
applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo $ODP$ hai $bar(PH)= (12x-x^2)/(6-x)$
e quindi
$(12x-x^2)/(6-x)+6-x+6=6x$
etc....
Ciao @Giant99 e @abatefarina !
Non me ne voglia abatefarina, ma, mentre lui scriveva la soluzione, stavo risolvendo anch'io l'esercizio, quindi vorrei riportare anche la mia soluzione
.
@Giant99 hai ragionato bene, ti mancava solo un ultimo step. Applichiamo il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo OPC (essendo O il centro della circonferenza): $CO^2=OH*OP$. Ora sappiamo che $CO=6 cm$ poiché raggio, $OH=OA-AH=6 cm-AH$ e $OP=PB-OB=PB-6 cm=6AH-6 cm$. Ponendo $AH=x$ e sostituendo nell'espressione sopra, si ha: $36=(6-x)(6x-6)$ che restituisce un'equazione di secondo grado le cui soluzioni, entrambe accettabili, sono $x=AH=4 cm vv x=AH=3 cm$. Ora, usando $AH=4cm$ si perviene a $PB=24 cm$, $OH=2cm$ e $CH=4sqrt(2)cm$ dai quali si ha $A=96sqrt(2)cm^2$. Con $AH=3cm$ si arriva, invece, a $PB=18 cm$, $OH=3cm$ e $CH=3sqrt(3)cm$, da cui $A=54sqrt(3)cm^2$.
Spero di essere stato chiaro. Per qualunque dubbio non esitare a chiedere.
Saluti
Non me ne voglia abatefarina, ma, mentre lui scriveva la soluzione, stavo risolvendo anch'io l'esercizio, quindi vorrei riportare anche la mia soluzione
.
@Giant99 hai ragionato bene, ti mancava solo un ultimo step. Applichiamo il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo OPC (essendo O il centro della circonferenza): $CO^2=OH*OP$. Ora sappiamo che $CO=6 cm$ poiché raggio, $OH=OA-AH=6 cm-AH$ e $OP=PB-OB=PB-6 cm=6AH-6 cm$. Ponendo $AH=x$ e sostituendo nell'espressione sopra, si ha: $36=(6-x)(6x-6)$ che restituisce un'equazione di secondo grado le cui soluzioni, entrambe accettabili, sono $x=AH=4 cm vv x=AH=3 cm$. Ora, usando $AH=4cm$ si perviene a $PB=24 cm$, $OH=2cm$ e $CH=4sqrt(2)cm$ dai quali si ha $A=96sqrt(2)cm^2$. Con $AH=3cm$ si arriva, invece, a $PB=18 cm$, $OH=3cm$ e $CH=3sqrt(3)cm$, da cui $A=54sqrt(3)cm^2$.
Spero di essere stato chiaro. Per qualunque dubbio non esitare a chiedere.
Saluti
Grazie mille ad entrambi !
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