Problema di Geometria - Circonferenze e Triangoli
Ciao a tutti,
ho questo problema da svolgere, vi illustro quali sono stati i miei ragionamenti e quali sono i miei dubbi.
Data la figura 1 (quadrilatero, angolo in A rettangolo, lunghezza DA < DB)
- Spostando il vertice A in modo che sia mantenuto l'angolo retto e considerando il segmento BD indeformabile, cosa si ottiene? Dimostalo.
Guardando la figura2 dell'allegato, la mia conclusione è che si ottiene una circonferenza.
La dimostrazione, per nulla formale, sta nel fatto che, se consideriamo che BD (ipotenusa) è indeformabile e che l'angolo A deve rimanere retto, muovendo il vertice A andiamo a descrivere solo triangoli rettangoli. Se considero l'ipotenusa diametro di un cerchio, e forte del fatto che in una semicirconferenza possano essere inscritti solo triangoli rettangoli mi sembra logico dedurre che l'arco tracciato dagli spostamenti di A sia una semicirconferenza.
Se svolgo l'operazione in maniera speculare, ottengo una circonferenza completa.
- Facendo ruotare B e D intorno al punto O (che non è il punto medio del segmento), cosa ottengo?
Come da figura 3 ottengo due circonferenze concentriche. Un po' come se considerassi le lancette di un orologio. Il che è spiegato dal fatto che essendo il punto di rotazione diverso dal punto medio e dunque avendo due raggi diversi per uno stesso centro otterrò due circonferenze di misura diversa ma concentriche.
- Quale relazione esiste tra le due osservazioni fatte sopra?
Non riesco a trovare una specifica relazione tra i due.
Quello a cui ho pensato è che la differenza tra la più piccola e la più grande circonferenza (in nero in figura 4) è lo spostamento dal centro, ma questa è un osservazione non una vera relazione.
Ho pensato alle bisettrici dell'angolo, alla traccia di B e D mentre ruotano intorno a O, alla relazione proporzionale tra le lunghezze di cateti. Ma non ho una relazione vera.
Potreste aiutarmi a ragionare sulla relazione e darmi un vostro parere sulle mie risposte. Vi sembrano sensate?
Grazie mille
DN
ho questo problema da svolgere, vi illustro quali sono stati i miei ragionamenti e quali sono i miei dubbi.
Data la figura 1 (quadrilatero, angolo in A rettangolo, lunghezza DA < DB)
- Spostando il vertice A in modo che sia mantenuto l'angolo retto e considerando il segmento BD indeformabile, cosa si ottiene? Dimostalo.
Guardando la figura2 dell'allegato, la mia conclusione è che si ottiene una circonferenza.
La dimostrazione, per nulla formale, sta nel fatto che, se consideriamo che BD (ipotenusa) è indeformabile e che l'angolo A deve rimanere retto, muovendo il vertice A andiamo a descrivere solo triangoli rettangoli. Se considero l'ipotenusa diametro di un cerchio, e forte del fatto che in una semicirconferenza possano essere inscritti solo triangoli rettangoli mi sembra logico dedurre che l'arco tracciato dagli spostamenti di A sia una semicirconferenza.
Se svolgo l'operazione in maniera speculare, ottengo una circonferenza completa.
- Facendo ruotare B e D intorno al punto O (che non è il punto medio del segmento), cosa ottengo?
Come da figura 3 ottengo due circonferenze concentriche. Un po' come se considerassi le lancette di un orologio. Il che è spiegato dal fatto che essendo il punto di rotazione diverso dal punto medio e dunque avendo due raggi diversi per uno stesso centro otterrò due circonferenze di misura diversa ma concentriche.
- Quale relazione esiste tra le due osservazioni fatte sopra?
Non riesco a trovare una specifica relazione tra i due.
Quello a cui ho pensato è che la differenza tra la più piccola e la più grande circonferenza (in nero in figura 4) è lo spostamento dal centro, ma questa è un osservazione non una vera relazione.
Ho pensato alle bisettrici dell'angolo, alla traccia di B e D mentre ruotano intorno a O, alla relazione proporzionale tra le lunghezze di cateti. Ma non ho una relazione vera.
Potreste aiutarmi a ragionare sulla relazione e darmi un vostro parere sulle mie risposte. Vi sembrano sensate?
Grazie mille
DN
Risposte
Il primo punto può essere reso formale dicendo che, per un teorema certo presente sul tuo testo, il luogo geometrico dei punti che vedono $B, D$ sotto un angolo retto è la circonferenza di diametro $BD$.
La soluzione del terzo punto è suggerita dall'ultima figura del tuo allegato; per meglio capirla ti suggerisco di segnare sulla seconda figura anche il punto $O_1$, centro di quella circonferenza. Osservando la figura così ottenuta, notiamo che la circonferenza descritta da $A$ ha centro $O_1$ e raggio $r_A=O_1B=O_1D$, mentre quella descritta da $B$ ha centro $O$ e raggio $r_B=OB$. Quindi
$r_B-r_A=OB-O_1B=O O_1="distanza fra i centri"$
e ne consegue che le due circonferenze sono tangenti internamente; è interna la circonferenza di centro $A$.
In modo del tutto analogo dimostri che sono tangenti internamente anche le circonferenze di centro $A$ e $D$; questa volta è interna la circonferenza di centro $D$.
Puoi aggiungere anche un'altra osservazione: poiché $O_1$ è il punto medio di $BD$ si ha
$r_A=(BD)/2=(BO+OD)/2=(r_B+r_D)/2$
cioè il raggio della prima circonferenza è la media degli altri due raggi.
La soluzione del terzo punto è suggerita dall'ultima figura del tuo allegato; per meglio capirla ti suggerisco di segnare sulla seconda figura anche il punto $O_1$, centro di quella circonferenza. Osservando la figura così ottenuta, notiamo che la circonferenza descritta da $A$ ha centro $O_1$ e raggio $r_A=O_1B=O_1D$, mentre quella descritta da $B$ ha centro $O$ e raggio $r_B=OB$. Quindi
$r_B-r_A=OB-O_1B=O O_1="distanza fra i centri"$
e ne consegue che le due circonferenze sono tangenti internamente; è interna la circonferenza di centro $A$.
In modo del tutto analogo dimostri che sono tangenti internamente anche le circonferenze di centro $A$ e $D$; questa volta è interna la circonferenza di centro $D$.
Puoi aggiungere anche un'altra osservazione: poiché $O_1$ è il punto medio di $BD$ si ha
$r_A=(BD)/2=(BO+OD)/2=(r_B+r_D)/2$
cioè il raggio della prima circonferenza è la media degli altri due raggi.
Brillante. Non consideravo una "relazione" il fatto che le circonferenze fossero tangenti. Avrei dovuto osservare meglio il disegno risultante.
Grazie mille.
DN
Grazie mille.
DN
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