Problema di Geometria Analitica
Buongiorno a tutti! Ho un problema di Geometria Analitica con discussione. Il testo è il seguente:
"Si conduca per l'origine O del sistema di riferimento la retta $a$ di equazione $y=2x$ e per il punto $B(4;0)$ la retta $b$, perpendicolare ad $a$: calcolare le coordinate del punto $A$ di intersezione di $a$ con $b$. La retta $y=d$ incontra nel semipiano positivo delle $y$ la retta $a$ in $P$ e la retta $b$ in $Q$; proiettando $P$ e $Q$ sull'asse $x$, si ottiene il rettangolo $PP'Q'Q$. Determinare per quali valori di $d$ il rettangolo non degenere $PP'Q'Q$ ha il perimetro di misura $2k$".
Vorrei sapere a quale equazione risolvente giungete; la mia viene con dei valori assoluti ed inoltre vengono fuori dei valori che il libro scarta come soluzioni limite.
Aspettando una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente!
"Si conduca per l'origine O del sistema di riferimento la retta $a$ di equazione $y=2x$ e per il punto $B(4;0)$ la retta $b$, perpendicolare ad $a$: calcolare le coordinate del punto $A$ di intersezione di $a$ con $b$. La retta $y=d$ incontra nel semipiano positivo delle $y$ la retta $a$ in $P$ e la retta $b$ in $Q$; proiettando $P$ e $Q$ sull'asse $x$, si ottiene il rettangolo $PP'Q'Q$. Determinare per quali valori di $d$ il rettangolo non degenere $PP'Q'Q$ ha il perimetro di misura $2k$".
Vorrei sapere a quale equazione risolvente giungete; la mia viene con dei valori assoluti ed inoltre vengono fuori dei valori che il libro scarta come soluzioni limite.
Aspettando una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Il perimetro del rettangolo è $(PP_1+P_1Q_1)*2$.
Ora proviamo a scrivere le coordinate di $P$ e di $Q$ in funzione di $d$:
$P(d/2;d)$
$Q(2d-4;d)$, sfruttando il passaggio dei due punti rispettivamente per la retta $a:y=2x$ e per la retta $b: x+2y-4=0$.
Il perimetro può essere riscritto:
$[y_p+(x_q-x_p)]*2$
$[d+(2d-4)-d/2]*2$
$5d-8$.
Questa quantità deve essere uguale a $2k$: $5d-8=2k$, che diventa un'equazione letterale..
Secondo me, i moduli di cui tu parli non servono, poiché il testo del problema parla di 'semipiano positivo delle y', cioè 1° o 2° quadrante. Ma la retta $y=2x$ non ha nessun punto nel 2° quadrante, quindi il rettangolo si può formare solo nel 1° quadrante, in cui tutte le coordinate sono positive..
Ora proviamo a scrivere le coordinate di $P$ e di $Q$ in funzione di $d$:
$P(d/2;d)$
$Q(2d-4;d)$, sfruttando il passaggio dei due punti rispettivamente per la retta $a:y=2x$ e per la retta $b: x+2y-4=0$.
Il perimetro può essere riscritto:
$[y_p+(x_q-x_p)]*2$
$[d+(2d-4)-d/2]*2$
$5d-8$.
Questa quantità deve essere uguale a $2k$: $5d-8=2k$, che diventa un'equazione letterale..
Secondo me, i moduli di cui tu parli non servono, poiché il testo del problema parla di 'semipiano positivo delle y', cioè 1° o 2° quadrante. Ma la retta $y=2x$ non ha nessun punto nel 2° quadrante, quindi il rettangolo si può formare solo nel 1° quadrante, in cui tutte le coordinate sono positive..
A me l'equazione risolvente risulta così: $|5d-8|+2|d|=2k$. Studiando i valori assoluti ottengo il seguente risultato: 2 soluzioni per $8/5=4$. Il libro invece riporta che si ha una soluzione per $k>4$... sbaglio io o il libro?!
Non risponde nessuno?!
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