Problema di geometria analitica (38500)
Dati A (2,0) B(0,1) determina il luogo dei punti r P tale che PA^2 +PB^2=19 indicando con C e D i punti in cui r interseca gli assi x e y. Detto E il simmetrico di B rispetto a r determina perimetro e area del quadrilatero avente per vertici i punti medi di CBDE. Dato il fascio Kx+y-1=0, discutilo e determina le rette del fascio che intersecano AB.
Mi aiutate perfavoreee!
In un altro problema invece ho l'equazione di una retta x^2+y^2-12x+6y+32=0, l'ho rappresentata graficamente trovando il raggio e il centro. Dopo mi chiede , dato un fascio di rette mx-y-3=0 di determinare il centro del fascio(l'ho fatto e mi trovo D(0,-3)), ma non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3.
Help me please!
Mi aiutate perfavoreee!
In un altro problema invece ho l'equazione di una retta x^2+y^2-12x+6y+32=0, l'ho rappresentata graficamente trovando il raggio e il centro. Dopo mi chiede , dato un fascio di rette mx-y-3=0 di determinare il centro del fascio(l'ho fatto e mi trovo D(0,-3)), ma non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3.
Help me please!
Risposte
Preso un punto P a caso nel piano cartesiano, le coordinate del punto P saranno le generiche (x,y)
Il quadrato della distanza del punto P da A (2,0), ricordando la distanza tra due punti, sara'
mentre la distanza da B sara'
E pertanto sostiutendo alla relazione data
Non mi e' molto chiara la frase "determina il luogo dei punti r P tale che.." pero'.
Dimmi sei il risultato del libro e' corretto..
Anche perche' "r" sembrerebbe una retta dal testo del problema..
Non vorrei mancasse un pezzo di testo..
Il quadrato della distanza del punto P da A (2,0), ricordando la distanza tra due punti, sara'
[math] (x-2)^2+((y-0)^2 [/math]
mentre la distanza da B sara'
[math] (x-0)^2+(y-1)^2 [/math]
E pertanto sostiutendo alla relazione data
[math] x^2-4x+4+y^2+x^2+y^2-2y+1=19 \to x^2+y^2-2x-y-7=0 [/math]
Non mi e' molto chiara la frase "determina il luogo dei punti r P tale che.." pero'.
Dimmi sei il risultato del libro e' corretto..
Anche perche' "r" sembrerebbe una retta dal testo del problema..
Non vorrei mancasse un pezzo di testo..
In verità li ha dettati la prof e non ho nemmeno i risultati..sono certa che il testo è così anche perchè non solo l'unica che ha scritto la frase in quel modo..di solito riesco a risolvere i problemi di geometria analitica.. ma forse un pò colpa delle feste e del testo non molto chiaro...quando l'ho letto mi sono ritrovata un pò spaesata.. ti sarei molto grata se mi dessi una mano...
Aggiunto 3 ore 25 minuti più tardi:
Qualcuno potrebbe darmi una mano perfavore? :cry :cry
Aggiunto 3 ore 25 minuti più tardi:
Qualcuno potrebbe darmi una mano perfavore? :cry :cry
quell'equazione descrive una circonferenza ed è quello, immagino, il luogo dei punti richiesto..
no il primo è un problema sulle rette...il secondo è sulla circonferenza..
Suppongo che la frase fosse
determina il luogo "r" dei punti "P" tali che...
Ora, questo però fa pensare ci sia qualche problema, perché se con r voleva indicare una retta, allora l'equazione dovrebbe venire di primo grado.
Forse la condizione era
(così verrebbe sicuramente una retta).
determina il luogo "r" dei punti "P" tali che...
Ora, questo però fa pensare ci sia qualche problema, perché se con r voleva indicare una retta, allora l'equazione dovrebbe venire di primo grado.
Forse la condizione era
[math]PA^2 - PB^2=19[/math]
?(così verrebbe sicuramente una retta).
Ciampax, hai ragione... era sbagliata la traccia...sono riuscita a recuperare la traccia del libro... è come hai scritto tu...grazie mille..cmq mi potresti dare una mano con i problemi please?
Il quadrato della distanza del punto P da A (2,0), ricordando la distanza tra due punti, sara'
mentre la distanza da B sara'
E pertanto sostiutendo alla relazione data
Fino a qui ci sei?
[math] (x-2)^2+((y-0)^2 [/math]
mentre la distanza da B sara'
[math] (x-0)^2+(y-1)^2 [/math]
E pertanto sostiutendo alla relazione data
[math] x^2-4x+4+y^2-x^2-y^2+2y-1=19 \to y-2x-8=0 [/math]
Fino a qui ci sei?
sisi...
Ora devi trovare E simmetrico rispetto a B alla retta.
I metodi qui sono diversi..
La retta e'
il punto B ha coordinate (0,1).
Quindi il suo simmetrico rispetto alla retta avra' la stessa distanza dalla retta.
La distanza di B dalla retta e'
Il punto E giace sulla perpendicolare a r passante per B e dista 7/radice5 dalla retta..
Prova con questo aiuto a calcolare le coordinate di E
I metodi qui sono diversi..
La retta e'
[math] 2x-y+8=0 [/math]
il punto B ha coordinate (0,1).
Quindi il suo simmetrico rispetto alla retta avra' la stessa distanza dalla retta.
La distanza di B dalla retta e'
[math] \frac{|2 \cdot 0 -1+8|}{ \sqrt{4+1}} = \frac{7}{ \sqrt5} [/math]
Il punto E giace sulla perpendicolare a r passante per B e dista 7/radice5 dalla retta..
Prova con questo aiuto a calcolare le coordinate di E
E(-28/5, 19/5)?
Aggiunto 47 minuti più tardi:
BIT5 io vado a dormire... domani mattina ti posto i risultati del primo problema , credo di saper andare avanti, che ne dici di darci un'occhiatina? Ti posto i miei risultati, gentilmente potresti vedere se coincidono con i tuoi...per quanto riguarda il secondo problema, una volta che ho rappresentato la circonferenza , trovato il centro e il raggio, dopo che ho trovato il centro del fascio, non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3. Come devo fare?
Grazie mille per il tuo aiuto.. davvero!
Aggiunto 47 minuti più tardi:
BIT5 io vado a dormire... domani mattina ti posto i risultati del primo problema , credo di saper andare avanti, che ne dici di darci un'occhiatina? Ti posto i miei risultati, gentilmente potresti vedere se coincidono con i tuoi...per quanto riguarda il secondo problema, una volta che ho rappresentato la circonferenza , trovato il centro e il raggio, dopo che ho trovato il centro del fascio, non riesco a trovare le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3. Come devo fare?
Grazie mille per il tuo aiuto.. davvero!
Il punto E e' diametralmente opposto a B rispetto alla retta 2x-y+8=0 (y=2x+8 )
Quindi il punto giace sulla perpendicolare alla retta e passante per B.
La retta perpendicolare ha
ed e' pertanto della forma
Dal momento che passa per B, le coordinate di B ne soddisfano l'equazione.
Quindi
Pertanto il punto E appartiene alla retta
La distanza del punto generico quindi dalla retta
E quindi
Da cui, semplificando i denominatori e eliminando la parentesi
Risolviamo, ricordando che eliminando il valore assoluto, l'argomento del valore assoluto (o modulo che dir si voglia) potra' essere uguale sia a 7 che a -7 (nel secondo caso il valore assoluto tanto ne invertirebbe il segno rendendolo positivo)
(e siccome appartiene alla retta
Appena vuoi, postami il dubbio successivo che andiamo avanti..
Quindi il punto giace sulla perpendicolare alla retta e passante per B.
La retta perpendicolare ha
[math] m=- \frac12 [/math]
ed e' pertanto della forma
[math] y=- \frac12 x + q [/math]
Dal momento che passa per B, le coordinate di B ne soddisfano l'equazione.
Quindi
[math] 1= - \frac12 \cdot 0 + q \to q=1 [/math]
Pertanto il punto E appartiene alla retta
[math] y= - \frac12 x + 1 [/math]
e avra' coordinate generiche [math] E ( x_0,y_0) \to E (x_0,- \frac12 x_0+1 ) [/math]
La distanza del punto generico quindi dalla retta
[math] 2x-y+8=0 [/math]
dovra' essere [math] \frac{7}{ \sqrt5} [/math]
E quindi
[math] \frac { |2x_0-( - \frac12 x_0 +1) + 8|}{ \sqrt5} = \frac{7}{ \sqrt5} [/math]
Da cui, semplificando i denominatori e eliminando la parentesi
[math] |2x_0+ \frac12 x_0 + 7|=7 \to | \frac52 x_0 + 7 |=7 [/math]
Risolviamo, ricordando che eliminando il valore assoluto, l'argomento del valore assoluto (o modulo che dir si voglia) potra' essere uguale sia a 7 che a -7 (nel secondo caso il valore assoluto tanto ne invertirebbe il segno rendendolo positivo)
[math] \frac52 x_0 + 7 = \pm 7 [/math]
[math] \frac52 x_0 + 7 = - 7 \to \frac52 x_0= -14 \to x_0= - \frac{28}{5} [/math]
(e siccome appartiene alla retta
[math] y= - \frac12 x + 1 [/math]
avremo [math]y= \frac{19}{5} [/math]
[math] \frac52 x_0 -7= 7 \to \frac52 x_0 = 0 \to x_0 = 0 [/math]
che e' il punto diametralmente opposto ed e' proprio B (questa infatti e' un'ulteriore conferma che abbiamo proceduto correttamente)Appena vuoi, postami il dubbio successivo che andiamo avanti..
Ho finito il primo problema.. mi dite come risolvere il secondo? Altrimenti non posso andare avanti..please :cry
Aggiunto 42 secondi più tardi:
x^2+y^2-12x+6y+32=0 è l'equazione di una circonferenza..
Aggiunto 42 secondi più tardi:
x^2+y^2-12x+6y+32=0 è l'equazione di una circonferenza..
i due punti di ascissa 3 della circonferenza sono:
da cui
Quindi i punti sono ( 3,-1 ) e ( 3, -5 )
A questo punto sostituisci al fascio il punto e ricavi i valori di m.
Una volta trovato m, sostituisci al fascio e trovi le rette.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
(che sono
.
[math] 3^2+y^2-36+6y+32=0 \to y^2+6y+5=0 [/math]
da cui
[math] y=-1 \ \ \ y=-5 [/math]
Quindi i punti sono ( 3,-1 ) e ( 3, -5 )
A questo punto sostituisci al fascio il punto e ricavi i valori di m.
Una volta trovato m, sostituisci al fascio e trovi le rette.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
(che sono
[math] -y+ \frac23 x - 3 =0 [/math]
e [math] -y- \frac23 x - 3 =0 [/math]
).
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