Problema di geometria analitica_---

[indovina]

Scrivere l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c tangente all'asse x nel punto di ascissa 1 e passante per (0:1)
tracciare dal punto H, dell'asse di simmetria, di ordinata 9, e dal fuoco F le rette, rispettivamente r ed s, parallele alla tangente nel vertice; dimostrare che la semicorda intercettata da r è media proporzionale tra distanza del vertice da r e la coorda intercettata da s.

difficoltà-----> dificile.

[Pillaus]

Intanto: il fatto che la parabola deve essere tangente all'asse x nel punto (1;0) vuol dire che deve avere due intersezioni coincidenti con

[math]y = 0[/math]

, cioè che

[math]ax^2 + bx + c[/math]

dev'essere un quadrato perfetto, cioè del tipo

[math]a (x - 1)^2[/math]

. Imponendo il passaggio per (0;1) ottieni che a = 1. Dunque

[math]y = x^2 - 2x + 1[/math]

L'asse di simmetria è banalmente la retta x = 1. La tangente nel vertice è l'asse x, quindi le rette r e s sono parallele all'asse x. Le coordinate del fuoco di una parabola sono

[math]\left( -\frac{b}{2a} ; \frac{1 - \Delta}{4a}\right)[/math]

, dunque il fuoco ha coordinate (1;1/4).
Di conseguenza r: y = 9 ; s: y = 1/4

La semicorda intercettata da r sulla parabola sarebbe la metà della distanza tra le intersezioni di r con la parabola, ovvero:

[math]9 = x^2 - 2x + 1\\
x^2 - 2x - 8 = 0\\
x_{1,2} = 4, -2\\
\Delta x = 6[/math]

La semicorda misura 3

[math]{1 \over 4} = x^2 - 2x + 1\\
x^2 - 2x + {3\over 4} = 0\\
x_{1,2} = {1\over2}, {3\over2}\\
\Delta x = 1[/math]

La distanza dal vertice di r è ovviamente 9, quindi si tratta di verificare che

[math]9 : 3 = 3 : 1[/math]

Verificato.

[indovina]

grazie di cuore pillaus, sei veramente un grande!