Problema di geometria analitica

[indovina]

Determinare i punti base del fascio di parabole di equazione y=a(x^ -8x+7) e la retta dei vertici delle parabole.
Determinare inoltre la parabola del fascio avente il vertice nel punto di ordinata 18\5 e la simmetrica di questa rispetto al'asse x.
Inscrivere nella parte finita del piano determinata dalle due parabole un quadrato di cui si vuol determinare la misura 2p1 de perimetro.
Successivamente, determinare la misura 2p2 del perimetro e la misura A dell'area del rombo formato dalle tangenti alle due parabole nei punti base del fsascio
quello colorato in viola già l'ho fatto e viene
(1,0) (7;0)
X=4
a=-2/5
a=2/5
ma purtroppo la seconda parte mi è risultata un pò difficile
grazie in anticipo

[Pillaus]

I punti base sono i punti in cui la parabola interseca l'asse x (infatti sono indipendenti da a) dunque (1;0) e (7;0)
La parabola generica ha il vertice nel punto (4;-9a), dunque la parabola che ha ordinata del vertice 18/5 ha a = -2/5, dunque è y = -2/5x^2 +16/5x - 14/5 , quella simmetrica rispetto all'asse x è y = 2/5x^2 -16/5x + 14/5
Iscrivere un quadrato vuol dire trovare un punto P di ascissa 1 < x0 < 4 che stia sulla prima parabola, e che abbia ordinata uguale alla distanza dall'asse della parabola (in questo modo ho tracciato l'angolo sinistro del quadrato, dal disegno si capisce), quindi 4-x0 = -2/5x0^2 +16/5x0 - 14/5
2x0^2 - 21x0 + 34 = 0 ==> x0 = (21 +- radicedi(441- 272))/4 = (21 +- 13)/4 = 17 o 2
La soluzione è x0 = 2, quindi i vertici del quadrato sono (2;2) (6;2) (6;-2) (2;-2), il suo perimetro è 16

Ora, le tangenti; se metto a sistema la prima parabola con la retta generica del fascio y = m(x-1), ottengo

2/5x^2 - x(16/5-m) + 14/5 - m=0
2x^2 - x(16 - 5m) + 14 - 5m = 0

Siccome voglio trovare le tangenti, ho che le due soluzioni devono essere uguali; una soluzione è x=1 (ho imposto che la retta passi per un punto che appartiene alla parabola), quindi essendo uguali, anche il prodotto delle soluzioni sarà 1, ma il prodotto delle soluzioni in un'equazione di 2° grado è c/a, quindi

(14-5m)/2 = 1

m = 12/5

Dunque la retta è y = 12/5(x-1) ; per motivi di simmetria, l'altra retta avrà m opposto ma passerà per l'altro punto base, quindi sarà y = -12/5(x-7)
Le altre rette, tangenti all'altra parabola, sono assolutamente analoghe: -12/5(x-1) e 12/5(x-7)
Le prime due rette si intersecano in (4;36/5), quindi i vertici del rombo sono:
(4;36/5) (7;0) (4;-36/5) (1;0)
L'area è D d / 2 = 72/5 6 1/2 = 216/5
Il perimetro è 4 volte un lato:4 radice((4-1)^2 + (36/5-0)^2) = 4 radice(9 + 1296/25) = 4 radice(1521/25)=4 41/5 = 164/5

[indovina]

Grazie come sempre Pillaus.Ciao

[valentina91]

qualcuno m sa piegare la simmetria?

[IPPLALA]

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CHIUDO