Problema di geometria analitica (13985)

[Jinx]

Determinare l'equazione dell'ellisse riferita ai suoi assi di simmetria tangente alla retta di equazione t:2x + 5y - 9=0 nel punto A(2,1)
Un aiutino please!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Grazie...

[plum]

equaione dell'ellisse:

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

se l'ellisse è tangente alla retta x=(-5y+9)/2 devi porre uguale a 0 il delta dell'equazione risolvente:

[math]\begin{cases}x=\frac{9-5y}2\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{9-5y}2\\\frac{(\frac{9-5y}2)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x=\frac{9-5y}2\\\frac{81+25y^2-90y}{4a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}[/math]

dopo un po' ricavi che l'equazione risolvente è

[math](25b^2+4a^2)y^2-90b^2y+b^2(81-4a^2)[/math]

da cui ricavi il delta quarti, che poni uguale a 0:

[math]\frac{\Delta}4=4a^2b^2(25b^2+4a^2-81)=0[/math]

per la legge dell'nnulamento del prodotto, ci sono 3 possibilità:
1) a^2=0
ciò non è possibile, altrimenti l'equazione dell'ellisse verrebbe x^2/0+y^2/b^2=1 e dividere per 0 non si può fare
2) b^2=0
stesso ragionamento
3) 25b^2+4a^2-81=0
l'unica accettabile

ora sai che l'ellisse passa per il punto A(2;1) e quindi

[math]\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1[/math]

[math]4b^2+a^2=a^2b^2\\4b^2=a^2b^2-a^2\\4b^2=a^2(b^2-1)\\a^2=\frac{4b^2}{b^2-1}[/math]

mettendo a sistema l'equazione appena trovata con quella trovata precedentemente (e cioè 25b^2+4a^2-81=0) ricavi che 25b^4-90b^2+81=0 --->

(5b^2-9)^2=0

5b^2-9=0

b^2=9/5