Problema di geometria

[flower78]

Nel triangolo rettangolo ABC, sia AH la proiezione del cateto minore AB sull'ipotenusa AC. Detto M il simmetrico di A rispetto ad H, sia P il punto in cui l'asse del segmento MC interseca la parallela ad AC condotta da B. Dimostrare che BP=PC.

Questo problema mi ha fatto un pò scervellare, visto anche il suggerimento che da il libro e cioè
(il quadrilatero MNPB, ove N....)


Non riesco a focalizzare. Mi date un input?? Secondo voi N chi è?
Grazie

[piero_1]

"flower78":(il quadrilatero MNPB, ove N....) Non riesco a focalizzare. Mi date un input?? Secondo voi N chi è?Grazie

ciao
N dovrebbe essere il punto medio del segmento MC (intersezione tra asse di MC e lato AC) il quadrilatero è un trapezio rettangolo.

[flower78]

grazie ok allora N lo avevo individuato giusto, solo che non riesco a partire, ho dato uno sguardo a tutti i teoremi su trapezi ecc, è possibile un input di ragionamento?

[flower78]

niente da fare mi scervello ma l'input non mi viene, spero venga a qualcuno di voi

[flower78]

allego anche il disegno che ho fatto

[giammaria2]

Il suggerimento del libro non dice niente neanche a me, ma credo di aver trovato la soluzione. Notiamo che il segmento AC è stato diviso in quattro segmenti a due a due uguali; HN è la somma di due di essi, quindi AC=2 HN, epoichè BP=HN, AC= 2 BP.
Prolunghiamo ora AB e CP fino ad incontrarsi in E; i triangoli ACE e BPE risultano simili, con rapporto 2: quindi AE=2 BE, perciò nel triangolo ACE, BC è mediana. Ma per ipotesi è anche altezza, quindi il triangolo è isoscele e ne consegue $A \hatCB=B \hatCE$. Ma $A \hatCB=C \hatBP$ perchè alterni interni, quindi $B \hatCE=C \hatBP$. IL triangolo BPC ha due angoli uguali, quindi è isoscele.

[flower78]

grazie per l'aiuto, comincio a pensare allora che N non sia in quel punto visto che non solo a me non dice nulla il suggerimento del libro...mah...