Problema di geometria
Di un trapezio rettangolo ABCD è data la misura della base maggiore $AB=3a$ e quella del lato obliquo BC che è uguale al lato minore CD $BC=CD=2a$-
Dopo aver determinato gli elementi incogniti del trapezio,traccia la semicirconferenza di diametro CB che incontra la base maggiore in H. considera un punto P appartenente all'arco CH($PCB=x$). e calcola il limite della funzione $f(x)= (PD^2-PC^2)/(CD^2)$ quando P raggiunge H
Allora..illustro il mio ragionamento:
con pitagora ho trovato l'altezza che è $AD=asqrt3$. Poi,il triangolo CQB, dove Q è l'intersezione tra la parallela all'altezza in C e la base maggiore AB, è un triangolo particolare,dove $ABC=60°$ e $BCQ=30°$. Quindi,l'angolo $DCB=120°$. Ora, preso il punto P, naturalmente,essendo triangolo rettangolo, $PC=2acosx$ e $PB=2asenx$. Ora però non riesco a trovarmi PD .. Ho pensato che l'angolo $PCD=(120°-x)$ e quindi potevo trovarmi l'area del triangolo eppoi con la formula di erone trovare PD. O avevo pensato anche di utilizzare carnot con il teorema del coseno,ma i calcoli non tornano.. Grazie mille.
Dopo aver determinato gli elementi incogniti del trapezio,traccia la semicirconferenza di diametro CB che incontra la base maggiore in H. considera un punto P appartenente all'arco CH($PCB=x$). e calcola il limite della funzione $f(x)= (PD^2-PC^2)/(CD^2)$ quando P raggiunge H
Allora..illustro il mio ragionamento:
con pitagora ho trovato l'altezza che è $AD=asqrt3$. Poi,il triangolo CQB, dove Q è l'intersezione tra la parallela all'altezza in C e la base maggiore AB, è un triangolo particolare,dove $ABC=60°$ e $BCQ=30°$. Quindi,l'angolo $DCB=120°$. Ora, preso il punto P, naturalmente,essendo triangolo rettangolo, $PC=2acosx$ e $PB=2asenx$. Ora però non riesco a trovarmi PD .. Ho pensato che l'angolo $PCD=(120°-x)$ e quindi potevo trovarmi l'area del triangolo eppoi con la formula di erone trovare PD. O avevo pensato anche di utilizzare carnot con il teorema del coseno,ma i calcoli non tornano.. Grazie mille.
Risposte
PD si trova con Carnot, non c'è storia
Non ho capito che limite devi trovare, per P che tende a che cosa? Inoltre sei sicuro della f(x)? Perché ha il denominatore costante e quindi non viene mai una forma indeterminata.
Non ho capito che limite devi trovare, per P che tende a che cosa? Inoltre sei sicuro della f(x)? Perché ha il denominatore costante e quindi non viene mai una forma indeterminata.
limite per P che tende ad H.. cmq si.. CD ce l'ho gia, e ho calcolato $PC=2acosx$ mi mancava solo l'altro..quindi dici che avrò sbagliato i conti?
comunque il risultato che da il libro è 1.. in effetti è l'unica incognita che nn riesco a trovare
$bar(PD)^2=bar(DC)^2+bar(PC)^2-bar(DC)bar(PC)coshat(PCD)=4a^2+4a^2 cos^2 x-8a^2 cosx cos(120-x)$
$lim_(x->30°) (bar(PD)^2-bar(PC)^2)/bar(CD)^2=lim_(x->30°) (4a^2+4a^2 cos^2 x-8a^2 cosx cos(120-x)-4a^2 cos^2 x)/(4a^2)=$
$lim_(x->30°) 4a^2(1-2 cosx cos(120-x))/(4a^2)=lim_(x->30°) (1-2 cosx cos(120-x))=1$
$lim_(x->30°) (bar(PD)^2-bar(PC)^2)/bar(CD)^2=lim_(x->30°) (4a^2+4a^2 cos^2 x-8a^2 cosx cos(120-x)-4a^2 cos^2 x)/(4a^2)=$
$lim_(x->30°) 4a^2(1-2 cosx cos(120-x))/(4a^2)=lim_(x->30°) (1-2 cosx cos(120-x))=1$
ok..grazie mille,gentilissima!
un altra cosa: c'è una formula per cui posso ricavarmi il terzo lato del triangolo,conoscendo due lati e uno degli angoli non compresi fra i due lati noti? perchè con Carnot devo avere l'angolo compreso,se no nn posso applicarlo, se non sbaglio.
un altra cosa: c'è una formula per cui posso ricavarmi il terzo lato del triangolo,conoscendo due lati e uno degli angoli non compresi fra i due lati noti? perchè con Carnot devo avere l'angolo compreso,se no nn posso applicarlo, se non sbaglio.
no, perchè se conosci due lati e un angolo non compreso tra essi, la lunghezza del lato non conosciuto (poniamo$x$) e l'angolo compreso tra i due lati noti (diciamo $\theta$) variano l'uno in funzione dell'altro determinando un triangolo diverso per ogni valore attribuito a uno dei due:
per ogni $\theta$ puoi trovare un diverso valore di $x$ e vicecersa, quindi quelle condizioni no determinano univocamente un triangolo.
per ogni $\theta$ puoi trovare un diverso valore di $x$ e vicecersa, quindi quelle condizioni no determinano univocamente un triangolo.
certo, si chiama Teorema dei seni, però devi applicarlo due volte.
Se l'angolo noto non è compreso tra i due lati noti allora è sicuramente opposto ad uno di essi, supponiamo noti il lato a, il lato b e l'angolo $alpha$ opposto ad a. con una prima applicazione del teorema dei seni trovi l'angolo $beta$ opposto a b, $sin beta = (b sin alpha)/a$ tieni conto che il problema può ammettere 2 soluzioni
$beta_1 = arcsin ((b sin alpha)/a)$,
$beta_2 = pi - arcsin ((b sin alpha)/a)$. Spesso la seconda soluzione è da scartare perchè la somma $alpha + beta>pi$, oppure perché i dati parlano di triangolo acutangolo e $beta_2 $ è ottuso. Determini $gamma$ per differenza di angoli noti e infine c.
Alcune volte non è opportuno calcolare $beta$, ma basta conoscere $sin beta$ e $cos beta$ e utilizzarli per trovare $sin gamma$ da applicare nel teorema dei seni per determinare c.
Se l'angolo noto non è compreso tra i due lati noti allora è sicuramente opposto ad uno di essi, supponiamo noti il lato a, il lato b e l'angolo $alpha$ opposto ad a. con una prima applicazione del teorema dei seni trovi l'angolo $beta$ opposto a b, $sin beta = (b sin alpha)/a$ tieni conto che il problema può ammettere 2 soluzioni
$beta_1 = arcsin ((b sin alpha)/a)$,
$beta_2 = pi - arcsin ((b sin alpha)/a)$. Spesso la seconda soluzione è da scartare perchè la somma $alpha + beta>pi$, oppure perché i dati parlano di triangolo acutangolo e $beta_2 $ è ottuso. Determini $gamma$ per differenza di angoli noti e infine c.
Alcune volte non è opportuno calcolare $beta$, ma basta conoscere $sin beta$ e $cos beta$ e utilizzarli per trovare $sin gamma$ da applicare nel teorema dei seni per determinare c.
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