Problema di geometria
calcolare le coordinate dei punti in cui la circonferenza di centro (3, -1/2) è tangente alla parabola y=-sqr(x)/2+2x (y= -1/2 per x alla seconda + 2x). QUALCUNO CONOSCE IL PROCEDIMENTO, anche utilizzando le derivate?
grazie
grazie
Risposte
Prendi un punto P generico sulla parabola
$P(k, 2k-1/2k^2)$, la generica tangente in P ha coefficiente angolare $y'(k)=2-k$, tale retta è anche tangente alla circonferenza in P se è perpendicolare al raggio PC il cui coefficiente angolare vale $m_(PC)=(y_P-y_C)/(x_P-x_C)$
Impostando la perpendicolarità ottengo un'equazione di terzo grado che si riduce subito con Ruffini con 1.
$P(k, 2k-1/2k^2)$, la generica tangente in P ha coefficiente angolare $y'(k)=2-k$, tale retta è anche tangente alla circonferenza in P se è perpendicolare al raggio PC il cui coefficiente angolare vale $m_(PC)=(y_P-y_C)/(x_P-x_C)$
Impostando la perpendicolarità ottengo un'equazione di terzo grado che si riduce subito con Ruffini con 1.
Semplificherei il procedimento trovando le intersezioni della parabola con la circonferenza di centro (3,-1/2) e raggio generico r:
${((x-3)^2+(y+1/2)^2=r^2),(y=-1/2x^2+2x):}$ da cui l'equazione:
$4(x-3)^2+(x^2-4x-1)^2=4r^2$
Questa equazione deve avere qualche radice almeno doppia che perciò deve risultare anche radice della derivata prima:
$8(x-3)+2(2x-4)(x^2-4x-1)=0$ oppure $x^3-6x^2+9x-4=0$ le cui radici (con Ruffini) sono $x_1=x_2=1,x_3=4$
Sostituendo questi valori nell'equazione di partenza si ricavano i raggi:
$4(1-3)^2+(1-4-1)^2=4r^2$ e cioé $r^2=8$ e $4r^2=4(4-3)^2+(16-16-1)^2$ ovvero $r^2=5/4$.
Per cui le circonferenze sono due ed hanno le equazioni:
$(x-3)^2+(y+1/2)^2=8$ e $(x-3)^2+(y+1/2)^2=5/4$
Spero di essere stato utile.
Marco
${((x-3)^2+(y+1/2)^2=r^2),(y=-1/2x^2+2x):}$ da cui l'equazione:
$4(x-3)^2+(x^2-4x-1)^2=4r^2$
Questa equazione deve avere qualche radice almeno doppia che perciò deve risultare anche radice della derivata prima:
$8(x-3)+2(2x-4)(x^2-4x-1)=0$ oppure $x^3-6x^2+9x-4=0$ le cui radici (con Ruffini) sono $x_1=x_2=1,x_3=4$
Sostituendo questi valori nell'equazione di partenza si ricavano i raggi:
$4(1-3)^2+(1-4-1)^2=4r^2$ e cioé $r^2=8$ e $4r^2=4(4-3)^2+(16-16-1)^2$ ovvero $r^2=5/4$.
Per cui le circonferenze sono due ed hanno le equazioni:
$(x-3)^2+(y+1/2)^2=8$ e $(x-3)^2+(y+1/2)^2=5/4$
Spero di essere stato utile.
Marco
Caro Marco ti assicuro che il mio procedimento ha gli stessi calcoli, perfino l'equazione di terzo grado viene la stessa. Forse quello che hai proposto tu dà un'idea più immediata. 
Ciao Amelia
Ciao Amelia
Amelia, la tua soluzione è geniale per la sua semplicità. Ti propongo per una medaglietta fields
gabriello
gabriello
Questo problema mi lascia perplesso su di un punto che subito vi espongo ( anche se non riguarda la soluzione
richiesta da Gabriello).
Le intersezioni con la parabola della seconda circonferenza ( quella di raggio $r=(sqrt5)/2$) sono due immaginarie
e due coincidenti nel punto (4,0) della parabola.E fin qui tutto bene :la figura si realizza facilmente.
Invece le intersezioni con la parabola della circonferenza di raggio $r=2sqrt2$ sono una nel punto della parabola
$A(5,-5/2)$ e l'altra nel punto $B(1,3/2)$ addirittura triplo.Ho controllato i calcoli molte volte e sembrano
a posto.La stranezza riguarda la figura :non riesco a tracciare la circonferenza senza intersecare la parabola in un altro
punto che in realtà non c'è,dato che i punti A e B assorbono le quattro intersezioni possibili tra parabola e circonferenza.
Qualcuno vuole verificare ? (altrimenti rischio di passarci la Pasqua !!!
)
Marco
richiesta da Gabriello).
Le intersezioni con la parabola della seconda circonferenza ( quella di raggio $r=(sqrt5)/2$) sono due immaginarie
e due coincidenti nel punto (4,0) della parabola.E fin qui tutto bene :la figura si realizza facilmente.
Invece le intersezioni con la parabola della circonferenza di raggio $r=2sqrt2$ sono una nel punto della parabola
$A(5,-5/2)$ e l'altra nel punto $B(1,3/2)$ addirittura triplo.Ho controllato i calcoli molte volte e sembrano
a posto.La stranezza riguarda la figura :non riesco a tracciare la circonferenza senza intersecare la parabola in un altro
punto che in realtà non c'è,dato che i punti A e B assorbono le quattro intersezioni possibili tra parabola e circonferenza.
Qualcuno vuole verificare ? (altrimenti rischio di passarci la Pasqua !!!
)Marco
"gabriello47":
calcolare le coordinate dei punti in cui la circonferenza di centro (3, -1/2) è tangente alla parabola y=-sqr(x)/2+2x (y= -1/2 per x alla seconda + 2x).
grazie
Non capisco.
Il problema è forse questo:
"qual è il raggio (o i raggi) della circonf. di centro $(3,-1/2)$ per cui risulta tangente alla parabola $y=-x^2/2+2x$" ?
La figura viene così:
Questa è fatta con derive, ma io l'ho verificata a mano e viene identica. Nel tratto compreso tra il vertice della parabola e il punto B, le curve sembrano sovrapposte.
Questa è fatta con derive, ma io l'ho verificata a mano e viene identica. Nel tratto compreso tra il vertice della parabola e il punto B, le curve sembrano sovrapposte.
"franced":
[quote="gabriello47"]
calcolare le coordinate dei punti in cui la circonferenza di centro (3, -1/2) è tangente alla parabola y=-sqr(x)/2+2x (y= -1/2 per x alla seconda + 2x).
grazie
Non capisco.
Il problema è forse questo:
"qual è il raggio (o i raggi) della circonf. di centro $(3,-1/2)$ per cui risulta tangente alla parabola $y=-x^2/2+2x$" ?[/quote]
Il testo non sembra ambiguo: chiede di trovare i punti di tangenza tra la parabola data e la circonferenza di centro assegnato.
Ringrazio Oronte per la precisazione e per il grafico.Certo che le due curve sono attaccate di brutto!!!
O come si dice in gergo matematico si osculano in quel punto...
Marco
O come si dice in gergo matematico si osculano in quel punto...
Marco
"marco80":
Ringrazio Oronte per la precisazione e per il grafico.Certo che le due curve sono attaccate di brutto!!!
O come si dice in gergo matematico si osculano in quel punto...
Marco
Basta vedere se il centro del cerchio appartiene all'evoluta della parabola.
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