Problema di geometria
Sul lato AB del quadrato ABCD ,ed esternamente a
quest'ultimo,si costruisca il triangolo ABF ,rettangolo
in F. Calcolare EF (E= intersezione di AC e BD) ,sapendo
che AF=6 e BF=8.
Calcolare EF anche nel caso in cui F sia interno al
quadrato.
karl.
quest'ultimo,si costruisca il triangolo ABF ,rettangolo
in F. Calcolare EF (E= intersezione di AC e BD) ,sapendo
che AF=6 e BF=8.
Calcolare EF anche nel caso in cui F sia interno al
quadrato.
karl.
Risposte
Nel caso in cui F sia esterno al quadrato, io ottengo EF = 7*sqrt(2)
Il punto F lo prendo sotto AB.
Procedo così: AF = 6; BF = 8 quindi AB = sqrt(6^2 + 8^2) = 10
Il triangolo AEB è isoscele e rettangolo in E perché nel quadrato le diagonali
sono perpendicolari; chiaramente, sarà EAB = EBA = pi/4 radianti.
AEB e ABF, poiché entrambi rettangoli, possono essere inscritti ognuno
in una semicirconferenza; unendo le due semicirconferenze si ottiene
una circonferenza di diametro AB = 10.
Il seno di BAF è: 8/10 = 4/5
Per il teorema della corda è quindi:
EF = AB*sin(pi/4 + arcsin(4/5)) = 10*sin(pi/4 + arcsin(4/5)) = 7*sqrt(2)
Il punto F lo prendo sotto AB.
Procedo così: AF = 6; BF = 8 quindi AB = sqrt(6^2 + 8^2) = 10
Il triangolo AEB è isoscele e rettangolo in E perché nel quadrato le diagonali
sono perpendicolari; chiaramente, sarà EAB = EBA = pi/4 radianti.
AEB e ABF, poiché entrambi rettangoli, possono essere inscritti ognuno
in una semicirconferenza; unendo le due semicirconferenze si ottiene
una circonferenza di diametro AB = 10.
Il seno di BAF è: 8/10 = 4/5
Per il teorema della corda è quindi:
EF = AB*sin(pi/4 + arcsin(4/5)) = 10*sin(pi/4 + arcsin(4/5)) = 7*sqrt(2)
Nel caso in cui F sia interno al quadrato, procedo
analogamente a come ho fatto prima: in questo
caso però mi serve solo una semicirconferenza, quella
che si trova "dentro al quadrato". L'angolo alla circonferenza
che insiste sull'arco EF ha ampiezza pari a arcsin(4/5) - pi/4 perché è
arcsin(4/5) > pi/4, di conseguenza il punto F va preso a sinistra di E.
Quindi la lunghezza della corda che sottende tale arco sarà,
sempre per il teorema della corda:
EF = AB*sin(arcsin(4/5) - pi/4) = 10*sin(arcsin(4/5) - pi/4) = sqrt(2)
analogamente a come ho fatto prima: in questo
caso però mi serve solo una semicirconferenza, quella
che si trova "dentro al quadrato". L'angolo alla circonferenza
che insiste sull'arco EF ha ampiezza pari a arcsin(4/5) - pi/4 perché è
arcsin(4/5) > pi/4, di conseguenza il punto F va preso a sinistra di E.
Quindi la lunghezza della corda che sottende tale arco sarà,
sempre per il teorema della corda:
EF = AB*sin(arcsin(4/5) - pi/4) = 10*sin(arcsin(4/5) - pi/4) = sqrt(2)
Il procedimento e' esatto.
Solo una piccola svista che lascio a te correggere.
karl.
Solo una piccola svista che lascio a te correggere.
karl.
Scusa ma non la trovo... Mi dici qual è? Forse
adesso l'ho corretta?
adesso l'ho corretta?
EF=AB*sin(arcsin(4/5) + pi/4)=7sqrt(2).
C'e' un 2 di troppo dato che corda=2rsin(a)
e AB e' gia il diametro.Analogamente nell'altro caso.
Se hai tempo (e voglia) prova a risolvere
il quesito senza ricorrere alla trigonometria.
karl.
C'e' un 2 di troppo dato che corda=2rsin(a)
e AB e' gia il diametro.Analogamente nell'altro caso.
Se hai tempo (e voglia) prova a risolvere
il quesito senza ricorrere alla trigonometria.
karl.
Cavolo, hai ragione!! [:)]
Ho scambiato AB per il raggio e invece era il diametro...
Comunque ora ho corretto.
Ho scambiato AB per il raggio e invece era il diametro...
Comunque ora ho corretto.
Il quadrilatero AEBF è ciclico.
Utilizzando il teorema di Tolomeo si ottiene EF = 7*sqrt(2).
Utilizzando il teorema di Tolomeo si ottiene EF = 7*sqrt(2).
Ok.Cosi' anche nell'altro caso.
Saluti da karl.
Saluti da karl.
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