Problema di geometria

[oleg.fresi]

Ho un problema di geometria nel quale non riesco a capire il ragionamento da seguire.
E' dato un trinagolo equilatero ABC di lato 2. Sul prolungamento di AB dalla parte di B, determina un punto P in modo che indicato M il punto medio di AC, risulti $MP^2=21l^2$.

Io chiamo x il segmento BP ma poi per applicare pitagora(che è l'argomento dell'esercizio) bisogna avere un triangolo rettangolo che qui non è presente e i dati non sono abbastanza. Potreste aiutarmi per favore a capire? Grazie mille in anticipo

[StellaMartensitica]

Il ragionamento che ho seguito è il seguente: (allego disegno in geogebra)
Traccio un segmento normale alla base AB del triangolo con M per estremo e piede in K (con K che appartiene ad AB).
Se $CAB$ angolo è di $60°$ ($(180°)/3$), allora $KA$ è lungo $cos(60°)$ ed inoltre $MK$ è lungo $cos(30°)$.
Segue che $KP$ è lungo $(x+2-cos(60°))$.
Per il teorema di Pitagora $MK^2+KP^2=MP^2$.
Se svolgo ottengo $cos^2(30°)+(2-cos(60°)+x)^2=21$
$3/4+(3/2 +x)^2=21$
$x^2+3x-18=0$

$x=((-3+4sqrt(5))/2)$.
(tutte le lunghezze sono espresse in $l$).

[oleg.fresi]

[strike][/strike]

"SirDanielFortesque":Non capisco il testo. Che cosa è "$l$"?

l è un numero non è un'incognita

[StellaMartensitica]

Si. L'ho pensato dopo.

[oleg.fresi]

Prima di tutto il risultato è sbagliato e poi essendo nei problemi di seconda liceo dove si applicano le equazioni di 2° la trigonometria è un argomento sconosciuto, pertanto ci dev'essere una via più semplice

[StellaMartensitica]

Eppure mi sembrava di aver imbroccato la risposta corretta. Non riesco ad allegare il file di geogebra e non capisco perché, però riproducendo la situazione su geogebra le misure mi tornano perfettamente... se do il nome ai vertici in senso antiorario. Dunque il tuo libro da il nome ai vertici in senso orario. In tal caso il risultato è 4?

[orsoulx]

Scommetterei un'unghia di Alex (la mia no, perché, in caso di perdita, diventerebbe complicato remunerare la manicure) che il lato del triangolo è $2l $ e non $2$ come è stato scritto.
A questo punto, indicando con $ H $ la proiezione di $ M $ su $ AB $ e assumendo come incognita $ x=HP $ si ha:
$ x^2+l^2*3/4=21l^2 rightarrow x^2=81/4l^2 rightarrow x=9/2 l $
da cui $ BP=3l $
Ciao

[StellaMartensitica]

Ammetto di non essere stato capace di risolverlo. Adesso ho capito dove sbagliavo.

[igiul1]

Stavo per intervenire ed ho visto la risposta di orsoulx che condivido.

Volendo indicare $BP=x$, come fatto inizialmente, si arriva all'equazione ottenuta da SirDanielFortesque che però l'ha risolta in modo errato.
Dal triangolo rettangolo $AMH$ si ha $MH=(sqrt3)/2$ perchè cateto di un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°, poi si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $MHP$

[oleg.fresi]

Non ho capito perche' $x^2+l^2*3/4$ in particolare $l^2*3/4$

[orsoulx]

Se il lato di un triangolo equilatero misura $2l$, l'altezza misurerà $ l sqrt(3) $ ed il punto medio di un lato dista dalla base metà dell'altezza.
Ciao

[caffeinaplus]

Prova a costruire il triangolo indicato dagli altri utenti.Dovresti risolvere questo triangolo come meglio credi (mi pare che $AMH$ è simile al triangolo $ACT$ dove $T$ è la proiezione di C su $AB$ ) poi da li vai avanti

[oleg.fresi]

Non ho capito perchè il punto medio di un lato dista dalla base metà dell'altezza

[orsoulx]

Scusa, diversi altri utenti hanno già fornito ampie spiegazioni: prova a metterci qualcosa di tuo (fra l'altro l'incognita, che ho utilizzato per adattarmi al tuo modo di procedere, è del tutto inutile). Conosci il teorema di talete. oppure la similitudine fra triangoli?
Ciao

[oleg.fresi]

Si lo conosco ma la proiezione non l'altezza relativa ad HMP? Poi nel libro gli esercizi sono suddivisi per argomenti, là dove ho trovato questo esercizio non si conoscono i teoremi di euclide o similitudini, senno avrei anche pensato a quelle quando hai parlato di proiezione, il problema è trovare il metodo alternativo a euclide se è questo che hai usato.

[orsoulx]

Ho detto T. di Talete, credo sia molto difficile usare quello di Euclide. Considera la metà del triangolo equilatero generata dall'altezza relativa ad $ AB $ (che è pure mediana). Il punto $ M $, essendo 'punto medio' di $ AC $ disterà $ l $ da $ A $, ma allora $ AH $ è metà della metà del lato $ AH=l/2 $ e $ MH $ è metà dell'altezza $ MH=l sqrt(3)/2 $.
Ciao

[oleg.fresi]

Ok ora ho capito, ma questo era l'unico modo per risolvere questo problema? Perchè quando si affronta l'argomento delle equazioni di 2° i ragazzi non conoscono ancora il teorema di talete

[orsoulx]

Boh! Come dicono i diversamente giovani: ai miei tempi il T. di Talete si faceva in prima, ma ora non so. Come alternativa il percorso suggerito da igui comporta solo la conoscenza delle proprietà di mezzo triangolo equilatero.
Ciao

[oleg.fresi]

Ma la soluzione di igui è sempre riguardo il teorema di talete perchè $sqrt(3)/2$ è il cateto, poi non ho capito il fatto sugli angoli da 30° e 60° ma penso che si sfoci nel teorema di similitudine. Ma usando solo pitagora non si può risolvere il problema?

[orsoulx]

Nella notte dei tempi.... le proprietà dei triangoli rettangoli metà di un equilatero o metà di un quadrato si incontravano già nell'allora scuola dell'obbligo. Il triangolo AMH ha un angolo retto, un angolo di 60°, perché è uno degli angoli dell'equilatero di partenza e l'ultimo non può essere che di 30°. Dunque il cateto minore AH sarà metà dell'ipotenusa che è lunga $ l $, il cateto maggiore MH, se proprio vuoi, lo puoi trovare col T. di Pitagora.
Ciao

[axpgn]

@orsoulx
[ot]

"orsoulx":Scommetterei un'unghia di Alex (la mia no, perché, in caso di perdita, diventerebbe complicato remunerare la manicure)

Fai pure, mi fido ciecamente ... [/ot]