Problema di geometria
Ho un problema di geometri che sono riuscito a impostare per metà, poi non sò come continuare.
In un rettangolo ABCD, siano H e K, rispettivamente, le proiezioni di B e D sulla diagonale AC. Sapendo che HK=a e AB=2BC,determina l'area del rettangolo.
Essendo AC la diagonale del rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli equivalenti, quindi basta studiarne uno ed essendo rettangoli si può applicare pitagora e euclide. Dunque AK=HC, AC=a+2HC quindi si può trovare AC: $AC=sqrt(AB^2+BC^2)$ $AC=sqrt(5BC)$ poi $BC^2=AC*HC$ quindi $BC=sqrt(5BC)*HC$ e da qui non sò come proseguire potreste aiutarmi per favore? Grazie in anticipo
In un rettangolo ABCD, siano H e K, rispettivamente, le proiezioni di B e D sulla diagonale AC. Sapendo che HK=a e AB=2BC,determina l'area del rettangolo.
Essendo AC la diagonale del rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli equivalenti, quindi basta studiarne uno ed essendo rettangoli si può applicare pitagora e euclide. Dunque AK=HC, AC=a+2HC quindi si può trovare AC: $AC=sqrt(AB^2+BC^2)$ $AC=sqrt(5BC)$ poi $BC^2=AC*HC$ quindi $BC=sqrt(5BC)*HC$ e da qui non sò come proseguire potreste aiutarmi per favore? Grazie in anticipo
Risposte
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I triangoli sono tutti simili, un cateto doppio dell'altro
"mgrau":
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I triangoli sono tutti simili, un cateto doppio dell'altro
grazie mille ma il mio procedimento era giusto o sbagliato? Poi con la radice mi sono bloccato.
"olegfresi":
[quote="mgrau"]
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I triangoli sono tutti simili, un cateto doppio dell'altro
grazie mille ma il mio procedimento era giusto o sbagliato? Poi con la radice mi sono bloccato.[/quote]
Scusami ancora ma non ho capito perchè $a+x=4x$
Mi sembra giusto, ma poi?
a + x è il cateto lungo del triangolo in alto, ed è il doppio del cateto corto 2x
a + x è il cateto lungo del triangolo in alto, ed è il doppio del cateto corto 2x
"mgrau":
Mi sembra giusto, ma poi?
a + x è il cateto lungo del triangolo in alto, ed è il doppio del cateto corto 2x
che sarebbe il lato superiore del rettangolo?
"olegfresi":
....che sarebbe il lato superiore del rettangolo?
Di chi stiamo parlando? Comunque, il lato superiore del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo in alto (nella mia figura), mentra a + x e 2x sono i cateti
"mgrau":
[quote="olegfresi"]
....che sarebbe il lato superiore del rettangolo?
Di chi stiamo parlando? Comunque, il lato superiore del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo in alto (nella mia figura), mentra a + x e 2x sono i cateti[/quote]
Dunque...a+2x è l'ipotenusa del triangolo abc a+x è l'ipotenusa del triangolo ABC senza il cateto x del triangolino al lato del rettangolo e comunque non capisco per quale criterio è uguale al doppio del cateto BH, h è la proiezione di B sulla diagonale AC
"olegfresi":
non capisco per quale criterio {AH} è uguale al doppio del cateto BH
Nella figura ci sono 6 triangoli rettangoli, e sono tutti simili, hanno un cateto doppio dell'altro
"mgrau":
[quote="olegfresi"] non capisco per quale criterio {AH} è uguale al doppio del cateto BH
Nella figura ci sono 6 triangoli rettangoli, e sono tutti simili, hanno un cateto doppio dell'altro[/quote]
ok ho capito grazie ancora
Scusate l'intrusione ho fatto i calcoli a memoria e l'area mi viene $10/9a^2$, vi risulta?
"francicko":
Scusate l'intrusione ho fatto i calcoli a memoria e l'area mi viene $10/9a^2$, vi risulta?
si è giusta
$AK=(HB)/2$
$AH=2HB $
$KH=a=2HB-(HB)/2=(3HB)/2$
$=> $ $HB=2/3a$
$HC=(HB)/2=a/3$
$AC=a/3+a+a/3=5/3a $
$A_(ABCD)=2(AC×HB )/2=AC×HB=5/3a×2/3a=(10)/9a^2$
$AH=2HB $
$KH=a=2HB-(HB)/2=(3HB)/2$
$=> $ $HB=2/3a$
$HC=(HB)/2=a/3$
$AC=a/3+a+a/3=5/3a $
$A_(ABCD)=2(AC×HB )/2=AC×HB=5/3a×2/3a=(10)/9a^2$
"francicko":
$AK=(HB)/2$
$AH=2HB $
$KH=a=2HB-(HB)/2=(3HB)/2$
$=> $ $HB=2/3a$
$HC=(HB)/2=a/3$
$AC=a/3+a+a/3=5/3a $
$A_(ABCD)=2(AC×HB )/2=AC×HB=5/3a×2/3a=(10)/9a^2$
Non capisco perchè AK è metà di HB
Perché, oleg, nella figura ci sono 6 triangoli simili, congruenti 2 a 2.
Infatti, osservando i lati e gli angoli, sono
$ADK=BCH$
$ABH=DCK$
e
$ABC=ACD$
Inoltre, se il triangolo ABC ha il cateto AB doppio del cateto BC, anche tutti gli altri triangoli, simili ad ABC, avranno un cateto (ovviamente il maggiore) doppio dell'altro.
Riguardo la tua domanda,
$DK=BH=2x$
e
$AK=(DK)/2=(BH)/2=(2x)/2=x$
La misura di $a=KH$ vale
$a=AH-AK=4x-x=3x$
L'area del rettangolo si trova facilmente, per esempio usando il procedimento di francicko, oppure diversi altri ad esso equivalenti, come calcolando la misura di AB (e, di conseguenza, di BC):
$AB^2=AH^2+HB^2$ (Pitagora su ABH)
$AB^2=(4x)^2+(2x)^2$
$AB=\sqrt(20x^2)$
e
$BC=\sqrt(20x^2)/2$
poi ricordando che
$A_(ABCD)=AB\timesBC$
$A_(ABCD)=\sqrt(20x^2)\times\sqrt(20x^2)/2$
$A_(ABCD)=10x^2$
e che
$x=a/3$
$A_(ABCD)=10(a/3)^2=(10/9)a^2$
Infatti, osservando i lati e gli angoli, sono
$ADK=BCH$
$ABH=DCK$
e
$ABC=ACD$
Inoltre, se il triangolo ABC ha il cateto AB doppio del cateto BC, anche tutti gli altri triangoli, simili ad ABC, avranno un cateto (ovviamente il maggiore) doppio dell'altro.
Riguardo la tua domanda,
$DK=BH=2x$
e
$AK=(DK)/2=(BH)/2=(2x)/2=x$
La misura di $a=KH$ vale
$a=AH-AK=4x-x=3x$
L'area del rettangolo si trova facilmente, per esempio usando il procedimento di francicko, oppure diversi altri ad esso equivalenti, come calcolando la misura di AB (e, di conseguenza, di BC):
$AB^2=AH^2+HB^2$ (Pitagora su ABH)
$AB^2=(4x)^2+(2x)^2$
$AB=\sqrt(20x^2)$
e
$BC=\sqrt(20x^2)/2$
poi ricordando che
$A_(ABCD)=AB\timesBC$
$A_(ABCD)=\sqrt(20x^2)\times\sqrt(20x^2)/2$
$A_(ABCD)=10x^2$
e che
$x=a/3$
$A_(ABCD)=10(a/3)^2=(10/9)a^2$
Ok va bene, solo che il libro chiedeva di risolverlo con pitagora e euclide usando un sistema quindi mi focalizzavo a pensare come costruire il sitema nel quale usavo le proiezioni dei punti come altezze dei triangoli ma poi ho capito che quelle proiezioni non erano per forza altezze poichè il libro non lo esplicitava dunque non avevo più dati per il sistema.
Scusa ancora ma non capisco perchè $a=4x-x$
Oh cavolo..........per capire che
$a=4x-x=3x$
ti basta guardare la figura tenendo conto dei dati del problema e di tutti i post che sono stati inviati. Fallo, coraggio!
Quanto alla soluzione Pitagora/Euclide, vediamo..................
$a=4x-x=3x$
ti basta guardare la figura tenendo conto dei dati del problema e di tutti i post che sono stati inviati. Fallo, coraggio!
Quanto alla soluzione Pitagora/Euclide, vediamo..................
"teorema55":
Oh cavolo..........per capire che
$a=4x-x=3x$
ti basta guardare la figura tenendo conto dei dati del problema e di tutti i post che sono stati inviati. Fallo, coraggio, leggi la mia firma!
Quanto alla soluzione Pitagora/Euclide, vediamo..................
ok ho capito ma riguardo all'ipotesi di usare un sistema?
Ho detto "vediamo", non sono ancora un missile.............
ok ok non voglio metter fretta
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