Problema di geometria

[oleg.fresi]

Ho un problema di geometri che sono riuscito a impostare per metà, poi non sò come continuare.

In un rettangolo ABCD, siano H e K, rispettivamente, le proiezioni di B e D sulla diagonale AC. Sapendo che HK=a e AB=2BC,determina l'area del rettangolo.

Essendo AC la diagonale del rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli equivalenti, quindi basta studiarne uno ed essendo rettangoli si può applicare pitagora e euclide. Dunque AK=HC, AC=a+2HC quindi si può trovare AC: $AC=sqrt(AB^2+BC^2)$ $AC=sqrt(5BC)$ poi $BC^2=AC*HC$ quindi $BC=sqrt(5BC)*HC$ e da qui non sò come proseguire potreste aiutarmi per favore? Grazie in anticipo

[teorema55]

Per esempio:

nella tua figura, traccia anche $ HP_1=$ altezza relativa ad AB nel triangolo ABH e $HP_2=$ altezza relativa a BC nel triangolo BCH. Indichiamo con

$x$

i segmenti congruenti $HP_2$ e $BP_1$

Tenendo conto della similitudine evidenziata da mgrau

$CP_2=1/2HP_2=x/2$

$BP_2=2HP_2=2x$

Quindi

$BC=CP_2+BP_2=x/2+2x=5/2x$

$AB=2BC=5x$

Ora passiamo ad $a$ e al tuo amato Pitagora:

$HC=\sqrt(CP_2^2+HP_2^2)=\sqrt((x/2)^2+x^2)=\sqrt((x^2)/4 + x^2)=\sqrt((x^2 + 4x^2)/4)=\sqrt(5/4x^2)=(\sqrt(5))/2x$

Ora Pitagora su ABC:

$AC=\sqrt(AB^2 + BC^2)=\sqrt((5x)^2+(5/2x)^2)=\sqrt(25x^2 + 25/4x^2)=\sqrt(125/4x^2)=(5\sqrt(5))/2x$

Quindi

$a=HK=AC-AK-HC=(5\sqrt5)/2x-\sqrt(5)/2x-\sqrt(5)/2x=(3\sqrt(5))/2x=a$

$a=(3\sqrt(5))/2x$

e

$x=2/(3\sqrt(5))a$

Calcoliamo l'area del rettangolo in funzione di x:

$A_(ABCD)=AB\timesBC=5x\times5/2x=25/2x^2$

e, sostituendo x con il suo valore in funzione di a:

$A_(ABCD)=25/2x^2=25/2*2/(3\sqrt5)a^2=25/2*4/45a^2=100/90a^2=10/9a^2$

che è il risultato corretto. Ho inserito tutti i passaggi, credo dovresti avere capito.

[teorema55]

Sistemi ne potresti impostare a iosa, ma la soluzione che ti ho proposto mi sembra più lineare...............

[oleg.fresi]

"teorema55":Sistemi ne potresti impostare a iosa, ma la soluzione che ti ho proposto mi sembra più lineare...............

Scusami.. dici che $BP_2=2x$ ma anche la diagonale del rettangolo $P_1HP_2B=2x$ perche?
poi non capisco perchè $P_2C=1/2HP_2$

[teorema55]

La diagonale del rettangolo $P_1HP_2B$ non è $BH=2x$ perché, utilizzando Pitagora su $BHP_2$, vale

$BH=\sqrt(5)x$

La diagonale del rettangolo ABCD, invece, è

$AC=(5\sqrt5)/2x$

cioè, dato che

$x=2/(3\sqrt5)a$

è

$AC=5/3a$

Non è che ti confondi con l'approccio precedente? Prima era stato indicato con $x$ il segmento $AK$, ora ho indicato con $x$ il segmento $HP_2$

Quindi le misure delle diagonali $AC$ e $BH$ in funzione di $x$ cambiano, ma in funzione di $a$ devono restare le stesse.

E' chiaro stu fatto, ah?

PS: $ P_2C=1/2 HP_2$

perché anche il triangolo $P_2CH$ è simile a tutti gli altri, quindi ha un cateto doppio dell'altro.

[oleg.fresi]

ok ora ho capito grazie mille per la spiegazione e la pazienza

[teorema55]

De nada.