Problema di geometria (120956)

[Pietro 99]

1)dimostra che in un riangolo qualunque segmento che unisce i punti medi di due lati biseca ogni segmento che congiunge un punto qualunque del terzo lato con il vertice opposto a quello

2)Dimostra che se conduci le perpendicolari alla base di un triangolo isoscele dai punti medi dei lati congruenti e tracci l'altezza relativa alla base, questa viene divisa in quattro segmenti fra loro congruenti.

39Dimostra che in ogni triangolo un vertice ed un punto qualunque del lato opposto hanno la stessa distanza dalla retta che unisce i punti medi degli altri due lati

[buffy :)]

N 1 ecco il disegno: http://img715.imageshack.us/img715/8241/...
per il teorema di talete il segmento MN che congiunge i punti medi di due lati del triangolo è parallelo a AB, si puo quindi dimostrare che il triangolo CME è simile a ACD, infatti l'angolo in C è comune ai due triangoli mentre gli angoli CME e CAD sono uguali perchè sono angoli corrispondenti, cioè formati da una retta tagliata da due rette parallele quali appunto quella passante per MN e per AB.
inoltre CM = AC/2 perchè M è il punto medio di AC quindi il rapporto di similitudine è 2 e dunque CE = CD/2 quindi E è il punto medio di CD e dunque il segmento MN biseca CD.

N 3 triangolo ABC,
K = punto sul lato opposto al vertice A
E, F = rispettivamente i punti medi dei segmenti AB e BC
H = punto di intersezione tra il segmento AK e il segmento EF

I triangoli ACK e AEH sono simili perchè hanno l'angolo nel vertice A in comune e gli angoli in E e B e in H e K uguali perchè stanno sullo stesso segmento e sono tagliati da segmenti paralleli (EF che unisce i punti medi è parallelo a BC).

Poichè il lato AE è la meta del lato AB perchè è il punto medio allora il triangolo simile piu piccolo a tutti i lati la meta di quelli del triangolo grande, quindi AH = 1/2AK e quindi HK = AK - AH = AH.

HK e AH sono le distanze del vertice e del punto sul lato opposto a quel vertice dal segmento EF che unisce i punti medi.

:hi