Problema di geometria (108994)

[pasku]

data una circonferenza di centro o e raggio lungo cm 15, da un punto p distante cm 27 da o si conduce una secante PA la cui parte esterna è PB. determinare la lunghezza della corda AB sapendo che il raggio OB biseca l' angolo AOP.

[rino6999]

il problema è molto interessante perchè la sua soluzione,nell'ambito della geometria del biennio, è vincolata alla conoscenza di 2 teoremi non molto noti:il teorema delle secanti e quello della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo

consideriamo,oltre alla secante data,la secante passante per P ed O,che interseca la circonferenza in C e D,e diciamo C il punto più vicino a P
sia inoltre AB=x e PB=y
per il teorema delle secanti si ha
PD:PA=PB:PC
cioè
42: (x+y)=y:12
xy+y^2=504 (*)

OB è bisettrice dell'angolo AOP del triangolo PAO
per il teorema della bisettrice si ha
OA:OP=AB:PB
cioè
15:27=x:y
27x=15y
x=15/27y sostituendo nella(*) si ha
15/27y^2+y^2=504
42/27y^2=504
y^2=324
y=18

quindi,AB=x=15/27*18=10

[Anthrax606]

Possiamo eseguirlo anche in questo modo:

Posto AOP = 2*alpha, applicando il teorema dei seni:
R*sin[(pi - alpha)/2] = OP*sin[(pi - 3*alpha)/2].
Trovato alpha basta applicare il teorema della corda, derivato da Pitagora:
AB = 2R*sin(alpha/2) = 10 cm.
In alternativa applicare le proprietà delle secanti alla circonferenza dal punto P e ottenere:
OP^2*sin(3*alpha/2)^2 - R^2*sin(alpha/2)^2 = OP^2 - R^2.
Calcolato alpha, applicare teorema della corda (evinto dal teorema di Pitagora) =>
AB = 10 cm.