Problema di discussione

[circe]

potreste aiutarmi con questo problema e spiegarmi il procedimento sopprattutto del punto b):

determinare l'equazione di una circonferenza C passante per A (8;0) e tangente in o(0;0) alla retta y=x e indicare con B l'ulteriore suo punto di intersezione con l'asse y. Rispondere inoltre ai seguenti quesiti:
a)determinare l'equazione della parabola passante per A,B e C (0;-2);
b) sull'arco AB della parabola determinare un punto P in modo che l'area del triangolo APB sia uguale a k, K appartiene a R+. Discussione.

GRAZIE MILLE IN ANTICIPO


ho prvato a risolverlo anche io...ma il problema da come risultato (vedi allegato)

[ciampax]

L'equazione generica da ricercare è

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

. Il passaggio per il punto

[math]A(8,0)[/math]

porta lla condizione (sostituendo le coordinate del punto)

[math]64+8a+c=0[/math]

Inoltre, essendo la circonferenza tangente nell'origine alla retta

[math]y=x[/math]

, essa risultare passare per l'origine: sostituendo le coordinate si ricava

[math]c=0[/math]

e dalla precedente

[math]a=-8[/math]

.

A questo punto sfruttiamo la condizione di tangenza: a tal fine l'intersezione tra le due curve deve restituire un solo punto: pertanto intersecando le equazioni

[math]y=x,\qquad x^2+y^2-8x+by=0[/math]

e sostituendo dalla prima nella seconda si ha

[math]2x^2+(b-8 )x=0[/math]

le cui soluzioni rispetto ad x sono

[math]x=0,\ x=\frac{8-b}{2}[/math]

. Dal momento che le due soluzioni devono coincidere, si deve avere

[math]8-b=0\ \Rightarrow\ b=8[/math]

. L'equazione della circonferenza è pertanto

[math]x^2+y^2-8x+8y=0[/math]

(centro

[math](4,-4)[/math]

, raggio

[math]r=4\sqrt{2}[/math]

).

Per determinare l'altro punto di intersezione, intersechiamo la circonferenza con la retta

[math]x=0[/math]

(asse y) e otteniamo

[math]y^2+8y=0[/math]

da cui

[math]y=0[/math]

(che dà l'origine) e

[math]y=-8[/math]

da cui

[math]B(0,-8)[/math]

.


a) Poiché non è specificato come deve essere l'asse della parabola, si hanno due possibilità per l'equazione generale:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

asse parallelo all'asse y

[math]x=Ay^2+By+C[/math]

asse parallelo all'asse x

Sostituendo le coordinate dei punti si trovano le equazioni

[math]64a+8b+c=0,\ \ -8=c,\ \ -2=c[/math]

e

[math]8=C,\ \ 64A-8B+C=0,\ \ 4A-2B+C=0[/math]

Il primo sistema di equazioni non ha soluzione (poiché si avrebbero due valori per

[math]c[/math]

) pertanto la parabola deve avere asse parallelo all'asse x. Avendosi

[math]C=8[/math]

segue che

[math]8A-B=-1,\ 2A-B=-4[/math]

. Dalla prima si ha

[math]B=8A+1[/math]

che sostituito nella seconda porta a

[math]-6A=-3\ \Rightarrow\ A=\frac{1}{2}[/math]

e quindi

[math]B=5[/math]

. La parabola ha pertanto equazione

[math]x=\frac{y^2}{2}+5y+8[/math]

b) Indichiamo con

[math]P(p,q)[/math]

le coordinate del punto. allora deve essere

[math]q=\frac{p^2}{2}+5p+8[/math]

. Affinché tale punto si trovi sull'arco AB dovrà pure essere [math]-\frac{9}{2}