Problema di analitica
scrivi l'equazione della retta r che passa per i punti (-1,0), (1;1) e l'equazione della retta s perpendicolare a r che passa per l'origine del sistema di riferimento. Determina poi le coordinate dei vertici B e C del triangolo isoscele ABC sapendo che il lato AB appartiene alla reta r, il lato AC appartiene alla retta s e che la retta a cui appartiene BC passa per P(1;3).
anche qua riesco a trovare soltanto le equazioni delle rette r ed s, e poi nn ho capito perchè il libro porta due punti B e due punti C nel risulato finale
anche qua riesco a trovare soltanto le equazioni delle rette r ed s, e poi nn ho capito perchè il libro porta due punti B e due punti C nel risulato finale
Risposte
adesso non ho tempo di fare i conti, devo uscire, ci risentiamo più tardi. però intanto mi pare di aver capito che A è il punto d'intersezione delle due rette.
quindi si tratta di un triangolo isoscele rettangolo. non è che ti aiuti molto il fatto di essere rettangolo, però tieni conto che la bisettrice dell'angolo A è anche altezza relativa a BC. per cui puoi trovare la bisettrice b di A e la retta BC è la retta passante per P e perpendicolare a b.
spero sia chiaro. ciao.
quindi si tratta di un triangolo isoscele rettangolo. non è che ti aiuti molto il fatto di essere rettangolo, però tieni conto che la bisettrice dell'angolo A è anche altezza relativa a BC. per cui puoi trovare la bisettrice b di A e la retta BC è la retta passante per P e perpendicolare a b.
spero sia chiaro. ciao.
nn ho capito
ho pensato di procedere nel seguente modo
ti spiego il procedimento perchè non ho finito i calcoli e poi controlli
ho trovato A dall'intersezione delle due rette
poi ho trovato la retta che passa per p mantenendo m per forza di cose e l'ho messa a sistema con la retta r ed ho trovato il punto C con il parametro m,
ho fatto la stessa cosa con s ed ho trovato B con il parametro m poi ho sfruttato il fatto che si tratta di un triangolo isoscele cioè:
$AC=AB$ da cui si trova m e sostituendo nei punti trovati otterrai la soluzione
prova
intanto spero di concludere i calcoli e spero di non aver sbagliato perchè la fretta può fare brutti scherzi
se non mi sono spiegata bene
fammelo sapere
ti spiego il procedimento perchè non ho finito i calcoli e poi controlli
ho trovato A dall'intersezione delle due rette
poi ho trovato la retta che passa per p mantenendo m per forza di cose e l'ho messa a sistema con la retta r ed ho trovato il punto C con il parametro m,
ho fatto la stessa cosa con s ed ho trovato B con il parametro m poi ho sfruttato il fatto che si tratta di un triangolo isoscele cioè:
$AC=AB$ da cui si trova m e sostituendo nei punti trovati otterrai la soluzione
prova
intanto spero di concludere i calcoli e spero di non aver sbagliato perchè la fretta può fare brutti scherzi
se non mi sono spiegata bene
fammelo sapere
Ada ti vuole far capire che hai un triangolo rettangolo isoscele. Che sia rettangolo isoscele lo puoi capire dal fatto che le rette AC e AB hanno coefficienti angolari opposti e reciproci quindi le due rette sono tra loro perpendicolari. A questo punto puoi osservare dal disegno che l'altezza relativa a BC condotta da A è anche bisettrice. Ora date due rette di eequazione ax+by+c=0 e ax1+by1+c=0 si sa che "Il luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti è costituito dalle due rette bisettrici degli angoli da esse formati". indicando con P(x,y) un generico punto del piano equidastente dalle due rette si ha:(Iax+by+cI)/RAD(a^2+b^2)=(Ia1x+b1x+c1I)/RAD(a1^2+b1^2) tutto ciò siccome è presente il modulo è uguale a:(ax+by+c)/RAD(a^2+b^2)=+-(a1x+b1y+c1)/RAD(a1^2+b1^2). I sta ad indicare il modulo. Purtroppo devo uscire e non faccio in tempo a scrivere col linguaggio math. Trovata l'equazione della bisetttrice vedi dal disegno e deve essere così che la bisettrice essendo altezza di BC fa si che BC sia perpendicolare alla bisettrice b. Ora sai che Bc si trova sul punto (1,3) scrivi l'equazione della retta passante per P(1,3) e perpendicolare a b che è la bisettrice che ti sei trovato. Lo farai due volte perchè tu dalla formula che ti ho dato potresti ottenere due bisettrici. Spero di essere stato chiaro! ciao e a presto
ma noi sappiamo che la retta r si trova su AB e nn su AC cos' allo stesso modo s si trova su AC e nn su BC, quindi come possimao trovare queste coordinate?
Prendi un punto generico P(x,y). Imponi a questo punto di avere stessa distanza da AB e AC. In questo modo ti trovi le bisettrici. Ora scrivi l'equazione della retta passante per P(1,3) e perpendicolare alle bisettrici trovate. Ti trovi così il lato BC o i lati BC!
quale delle due bisettrici devo prendere? e perchè ci sono due coordinate di B e due di C?
ricapitoliamo.
il testo ti dice che r ed s sono perpendicolari, per cui se A è il loro punto d'intersezione automaticamente il triangolo ABC deve essere rettangolo in A:
il testo ti dice anche che il triangolo ABC è isoscele: BC è l'ipotenusa, quindi i lati congruenti devono essere necessariamente i due cateti AB e AC.
è una proprietà geometrica dei triangoli isosceli quella che dice che la bisettrice dell'angolo al vertice (in questo caso dell'angolo retto A) è anche mediana e altezza relativa alla base (in questo caso l'ipotenusa BC).
ebbene, ci sono delle formule per trovare le bisettrici dei quattro angoli individuati da due rette incidenti, in quanto, come ti ha detto rofellone, la bisettrice è il luogo dei punti equidistanti dai lati di un angolo, quindi puoi usare la formula della distanza punto-retta per il generico punto (x,y) della bisettrice di A:
$(|a_1x+b_1y+c_1|)/(sqrt((a_1)^2+(b_1)^2))=(|a_2x+b_2y+c_2|)/(sqrt((a_2)^2+(b_2)^2))$,
dove $a_1x+b_1y+c_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2=0$ sono le equazioni delle rette r ed s (AB e AC).
da qui dovresti ricavarti le equazioni di due rette tra loro perpendicolari, entrambe passanti per il punto A, di cui una è la bisettrice dell'angolo BAC.
la prendi, ti trovi il coefficiente angolare m, fai l'antireciproco m', ed hai il coefficiente angolare della retta BC, che è appunto la retta passante per P ed avente coefficiente angolare m'=-1/m.
la retta BC, a sistema con r ed s, ti darà le coordinate dei punti B e C.
spero sia chiaro. ciao.
il testo ti dice che r ed s sono perpendicolari, per cui se A è il loro punto d'intersezione automaticamente il triangolo ABC deve essere rettangolo in A:
il testo ti dice anche che il triangolo ABC è isoscele: BC è l'ipotenusa, quindi i lati congruenti devono essere necessariamente i due cateti AB e AC.
è una proprietà geometrica dei triangoli isosceli quella che dice che la bisettrice dell'angolo al vertice (in questo caso dell'angolo retto A) è anche mediana e altezza relativa alla base (in questo caso l'ipotenusa BC).
ebbene, ci sono delle formule per trovare le bisettrici dei quattro angoli individuati da due rette incidenti, in quanto, come ti ha detto rofellone, la bisettrice è il luogo dei punti equidistanti dai lati di un angolo, quindi puoi usare la formula della distanza punto-retta per il generico punto (x,y) della bisettrice di A:
$(|a_1x+b_1y+c_1|)/(sqrt((a_1)^2+(b_1)^2))=(|a_2x+b_2y+c_2|)/(sqrt((a_2)^2+(b_2)^2))$,
dove $a_1x+b_1y+c_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2=0$ sono le equazioni delle rette r ed s (AB e AC).
da qui dovresti ricavarti le equazioni di due rette tra loro perpendicolari, entrambe passanti per il punto A, di cui una è la bisettrice dell'angolo BAC.
la prendi, ti trovi il coefficiente angolare m, fai l'antireciproco m', ed hai il coefficiente angolare della retta BC, che è appunto la retta passante per P ed avente coefficiente angolare m'=-1/m.
la retta BC, a sistema con r ed s, ti darà le coordinate dei punti B e C.
spero sia chiaro. ciao.
io nn ho capito perchè ci sono due coordinate di B e due di C e quale delle due bisettrici devo prendere.
ora mi volevo fare i conti, ma provo a rispondere all'ultimo quesito che ho trovato:
le due rette che troverai hanno una coefficiente angolare m, l'altra m'=-1/m.
devi necessariamente far riferimento alla figura: r ha coefficiente angolare positivo, s ha coefficiente angolare negativo, il punto P si trova, rispetto ad A, nel "quadrante più in alto". la bisettrice di quel quadrante (a occhio è "crescente", ma...) ha coefficiente angolare in valore assoluto maggiore sia di |m| sia di |m'|=1/|m|. basta pensare che la retta verticale passante per A taglia quel quadrante (lo sto chiamando quadrante perché so che è un angolo retto, tu chiamalo come vuoi).
a dopo. fammi sapere come va.
le due rette che troverai hanno una coefficiente angolare m, l'altra m'=-1/m.
devi necessariamente far riferimento alla figura: r ha coefficiente angolare positivo, s ha coefficiente angolare negativo, il punto P si trova, rispetto ad A, nel "quadrante più in alto". la bisettrice di quel quadrante (a occhio è "crescente", ma...) ha coefficiente angolare in valore assoluto maggiore sia di |m| sia di |m'|=1/|m|. basta pensare che la retta verticale passante per A taglia quel quadrante (lo sto chiamando quadrante perché so che è un angolo retto, tu chiamalo come vuoi).
a dopo. fammi sapere come va.
niente nn esce
le bisettrici mi escono:
x+y-1=0 3x-3y+1=0
le bisettrici mi escono:
x+y-1=0 3x-3y+1=0
la bisettrice è $y=3x+1$
la retta BC è $y=-1/3x+10/3$
i punti B e C sono $(17/5,11/5)$ e $(-2,4)$.
scrivi i tuoi passaggi, e ti correggerò. ciao.
la retta BC è $y=-1/3x+10/3$
i punti B e C sono $(17/5,11/5)$ e $(-2,4)$.
scrivi i tuoi passaggi, e ti correggerò. ciao.
le bisettrici le clcolo così:
$(x-2y+1)/sqrt5$=$+-(2x+y)/sqrt5$
sbagliavo i calcoli, a te escono solo una B e una C , sul libro porta due C e due B perchè?
$(x-2y+1)/sqrt5$=$+-(2x+y)/sqrt5$
sbagliavo i calcoli, a te escono solo una B e una C , sul libro porta due C e due B perchè?
sì, è possibile!
nel quadrante più a destra viene fuori un altro triangolo isoscele.
devi prendere l'altra bisettrice di equazione $y=-1/3x+1/3$ e ripetere i ragionamenti fatti per l'altro caso.
in fretta ho trovato BC di equazione $y=3x$ ed i punti $(0,0)$ e $(1/5,3/5)$
si sei? fammi sapere. ciao.
nel quadrante più a destra viene fuori un altro triangolo isoscele.
devi prendere l'altra bisettrice di equazione $y=-1/3x+1/3$ e ripetere i ragionamenti fatti per l'altro caso.
in fretta ho trovato BC di equazione $y=3x$ ed i punti $(0,0)$ e $(1/5,3/5)$
si sei? fammi sapere. ciao.
C1(0;0),B1($1/5;3/5$), quelli che hai scritto tu sono B2 e C2
bene, ci siamo sovrapposti, ma i risultati sono quelli.
vuol dire che sono compatibili le soluzioni con entrambe le bisettrici.
io davo per scontato che il punto P appartenesse alla base BC "come segmento", invece, se si considera la retta della base, allora viene fuori un altro triangolo isoscele rettangolo nel "quadrante" più a destra.
hai risolto con i calcoli?
vuol dire che sono compatibili le soluzioni con entrambe le bisettrici.
io davo per scontato che il punto P appartenesse alla base BC "come segmento", invece, se si considera la retta della base, allora viene fuori un altro triangolo isoscele rettangolo nel "quadrante" più a destra.
hai risolto con i calcoli?
con i calcoli si, con il fatto dei due risultati no
prova a fare il disegno.
con il disegno ti devi ritrovare per forza (almeno per convincerti sulle due soluzioni).
per quanto riguarda le bisettrici, certo un angolo retto non ti aiuta a capire.
staccati dal piano cartesiano, e pensa al piano euclideo. disegna due rette incidenti "generiche" (non perpendicolari). queste formano 4 angoli, di cui due acuti e due ottusi, a due a due congruenti oppure supplementari.
disegna le bisettrici di ciascuno dei quattro angoli. come sono?
adesso disegna le quattro semirette nel piano cartesiano del problema, bisettrici dei quattro angoli retti di vertice A....
poi disegna le due rette passanti per il punto P, una perpendicolare ad una bisettrice, una all'altra...
è più chiaro?
con il disegno ti devi ritrovare per forza (almeno per convincerti sulle due soluzioni).
per quanto riguarda le bisettrici, certo un angolo retto non ti aiuta a capire.
staccati dal piano cartesiano, e pensa al piano euclideo. disegna due rette incidenti "generiche" (non perpendicolari). queste formano 4 angoli, di cui due acuti e due ottusi, a due a due congruenti oppure supplementari.
disegna le bisettrici di ciascuno dei quattro angoli. come sono?
adesso disegna le quattro semirette nel piano cartesiano del problema, bisettrici dei quattro angoli retti di vertice A....
poi disegna le due rette passanti per il punto P, una perpendicolare ad una bisettrice, una all'altra...
è più chiaro?
insomma, cmq per ottenere gli altri due risultati devo prendere la retta passante per P con m=-1/m dell'altra bisettrice?
sì, è la bisettrice di un angolo adiacente a quello considerato in precedenza.
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