Problema di analisi

[luisa6]

Determinare l'area del quadrilatero mistilineo formato dalla circonferenza x^2+y^2=1 e dalla funzione y=|sin x|

[goblyn]

Prima di tutto fai un grafico delle due curve. Si vede che tale area si può calcolare come il doppio dell'area delimitata dall'asse y, dalla circonferenza e dal seno (per x>0 insomma).
L'equazione della circonferenza (per y>0, quindi nella zona d'interesse) è y = sqrt( 1-x^2 ). Il seno è positivo e possiamo togliere il modulo.
Chiamiamo h l'ascissa del punto d'intersezione tra la circonferenza e il seno (determinabile solo numericamente).
L'area è quindi:

Area = 2 * ( F - G )

dove

F = INT [ 0 , h ] ( sqrt( 1 - x^2 ) dx )

G = INT [ 0 , h ] ( sin(x) dx )

Cominciamo col primo. Operiamo la sostituzione

x=cos(t) ==> dx = -sin(t) dt

F = INT [ arccos(h) , pi/2 ] ( (sin(t))^2 dt)

L'integrale indefinito associato vale:

1/2 * ( t - sin(t)cos(t) ) + costante

Sostituendo gli estremi otteniamo:

F = 1/2 * ( pi/2 + h*sqrt(1-h^2) - arccos(h) )

Passiamo al secondo integrale:

G = 1 - cos(h)

h vale circa 0.7391, quindi l'area vale circa:

Area = 0.8077

goblyn




Modificato da - goblyn il 23/06/2003 15:13:50