Problema con parametro
Avrei bisogno di un aiuto per questo problema:
Nella piramide VABC lo spigolo VA è perpendicolare al piano di base e inoltre:
$VA=AB=BC=AC=l$
Determinare il piano passante per VA che intersechi il lato BC in un punto D in modo che il volume della piramide VADB sia k volte il volume del cubo di spigolo $l$
Non riesco a sbloccare l'inizio. Un grazie a tutti.
Nella piramide VABC lo spigolo VA è perpendicolare al piano di base e inoltre:
$VA=AB=BC=AC=l$
Determinare il piano passante per VA che intersechi il lato BC in un punto D in modo che il volume della piramide VADB sia k volte il volume del cubo di spigolo $l$
Non riesco a sbloccare l'inizio. Un grazie a tutti.
Risposte
"Individuare un piano" significa trovare la distanza del piano, chiamiamola $x$, dal punto $B$ (per esempio), in quanto tale piano è individuato univocamente da questa distanza.
A questo punto dobbiamo calcolare il volume della piramide più piccola $VADB$. Poichè la base della piramide di partenza è un triangolo equilatero, l'angolo in $B$ è di $pi/3$. L'area di base di $VADB$ è data dalla formula $A_b=1/2 l x sin (pi/3)=1/2 lx sqrt3/2=(lx)/4 sqrt3$. Il volume di $VADB$ è $1/3 l cdot A_b=(l^2x)/12 sqrt3$. Il volume di un cubo che ha come spigolo $l$ è banalmente $l^3$, e $k$ volte tale volume non è che $kl^3$. Uguagliando, ottieni l'equazione $(l^2x)/12 sqrt3=kl^3$, da cui $x=(12kl)/sqrt3$.
A questo punto dobbiamo calcolare il volume della piramide più piccola $VADB$. Poichè la base della piramide di partenza è un triangolo equilatero, l'angolo in $B$ è di $pi/3$. L'area di base di $VADB$ è data dalla formula $A_b=1/2 l x sin (pi/3)=1/2 lx sqrt3/2=(lx)/4 sqrt3$. Il volume di $VADB$ è $1/3 l cdot A_b=(l^2x)/12 sqrt3$. Il volume di un cubo che ha come spigolo $l$ è banalmente $l^3$, e $k$ volte tale volume non è che $kl^3$. Uguagliando, ottieni l'equazione $(l^2x)/12 sqrt3=kl^3$, da cui $x=(12kl)/sqrt3$.
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