Problema con parametri e derivate
Ciao ragazzi, ho ricevuto dal prof un problema il cui obiettivo è trovare i parametri della funzione data, cioè:
$ y = (ax^3 + b)/(cx^2 + d) $ , sapendo che vi sono due asintoti aventi equazioni $ y=2x $ e $ x=1 $ e un flesso in $ x=0 $.
Ho trovato una condizione per mezzo del coefficiente dell'asintoto obliquo e mi è uscito $ a/c = 2 $ e la seconda per mezzo dell'asintoto verticale, ottenendo come risultato $ c+d=0 $. Per la condizione del flesso ho provato a calcolare la derivata seconda, ma mi esce un'equazione gigante, e, inoltre, mi manca l'ultima condizione per poter mettere tutto a sistema e trovare i 4 parametri.
Potete aiutarmi per favore?
Il risultato è $ y=2x^3/(x^2 -1) $
Grazie
$ y = (ax^3 + b)/(cx^2 + d) $ , sapendo che vi sono due asintoti aventi equazioni $ y=2x $ e $ x=1 $ e un flesso in $ x=0 $.
Ho trovato una condizione per mezzo del coefficiente dell'asintoto obliquo e mi è uscito $ a/c = 2 $ e la seconda per mezzo dell'asintoto verticale, ottenendo come risultato $ c+d=0 $. Per la condizione del flesso ho provato a calcolare la derivata seconda, ma mi esce un'equazione gigante, e, inoltre, mi manca l'ultima condizione per poter mettere tutto a sistema e trovare i 4 parametri.
Potete aiutarmi per favore?
Il risultato è $ y=2x^3/(x^2 -1) $
Grazie
Risposte
L'asintoto verticale esiste se $lim_(x->c)f(x)=oo$ dove $c$ è un punto di discontinuità (in esso si annulla il denominatore).
$x=1$ asintoto verticale $=>-d/c=1$
$y=2x$ asintoto obliquo $=>a/c=2$
flesso in $x=0=>f''(0)=0=>bc=0$
Non hai altre condizioni, ma puoi dedurre che deve essere $c!=0$ e dividere numeratore e denominatore per $c$, ricavando di conseguenza $a/c,b/c,d/c$.
Buon proseguimento
$x=1$ asintoto verticale $=>-d/c=1$
$y=2x$ asintoto obliquo $=>a/c=2$
flesso in $x=0=>f''(0)=0=>bc=0$
Non hai altre condizioni, ma puoi dedurre che deve essere $c!=0$ e dividere numeratore e denominatore per $c$, ricavando di conseguenza $a/c,b/c,d/c$.
Buon proseguimento
Ricordati che devi imporre che per l'asintoto obliquo $q=0$.
Asintoto obliquo $y=2x $ $=> $ $a/c=2$ $=> $ $a=2c $
Asintoto verticale $x=1$ $=> $ $c+d=0$ $=> $ $d=-c$
Sostituendo possiamo riscrivere la funzione parametrica nella forma
$y=(2cx^3+b)/(cx^2-c) $ definita per $x!=1$, $x!=$ $-1$ ed $c!=0$
A questo punto se si calcola la derivata seconda , si osserva che $f''(0)=0$ solo se $b=0$ , e sostituendo la funzione diventa $(2cx^3)/(cx^2-c) $ , semplificando rispetto a $c $ abbiamo ancora $(2x^3)/(x^2-1) $.
Quindi possiamo porre ad esempio $c=1$, di conseguenza avremo $a=2×1=2$ ed $d=-1$, ed otteniamo la forma suddetta senza bisogno di semplificazioni.
Vi sembra corretto il procedimento?
Asintoto verticale $x=1$ $=> $ $c+d=0$ $=> $ $d=-c$
Sostituendo possiamo riscrivere la funzione parametrica nella forma
$y=(2cx^3+b)/(cx^2-c) $ definita per $x!=1$, $x!=$ $-1$ ed $c!=0$
A questo punto se si calcola la derivata seconda , si osserva che $f''(0)=0$ solo se $b=0$ , e sostituendo la funzione diventa $(2cx^3)/(cx^2-c) $ , semplificando rispetto a $c $ abbiamo ancora $(2x^3)/(x^2-1) $.
Quindi possiamo porre ad esempio $c=1$, di conseguenza avremo $a=2×1=2$ ed $d=-1$, ed otteniamo la forma suddetta senza bisogno di semplificazioni.
Vi sembra corretto il procedimento?
Mi sbaglio?
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