Problema con iperbole e parametri.

[oleg.fresi]

Ho questo esercizio: trova per quali valori di k l'equazione $x^2/(k-2)+y^2/(6k)=1$ rappresenta: un'iperbole; un'iperbole con i fuochi sull'asse x; un'iperbole con i fuochi sull'asse y; un'iperbole con gli asintoti di equazione $y=+-xsqrt(6)$. Ho messo il denominatore diverso da zero ma non è quella la soluzione giusta e non capisco perchè. Per avere senso il denominatore dev'essere diverso da zero poichè non si può dividere per zero. Potreste aiutarmi a capire per favore?

[mgrau]

La caratteristica di una iperbole (centrata sugli assi) è di avere un termine in $x^2$ e uno in $y^2$, con la loro differenza uguale a una costante, che si usa scrivere $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$
Questa interseca l'asse x, infatti per y = 0 ha le soluzioni $x = +-a$, che sono i vertici. Anche i fuochi stanno sull'asse x.
Se invece il termine maggiore è quello in y, i vertici e i fuochi stanno sull'asse y, e non ci sono intersezioni con x.
Quindi:
perchè la tua equazione sia una iperbole, occorre che quella somma sia in realtà una differenza, ossia che i due denominatori abbiano segno opposto, ossia i valori di k cercati sono quelli per cui $k-2$ e $6k$ sono discordi. Ora prova a continuare tu...

[oleg.fresi]

Ok quindi k-2<0 a sistema con 6k>0 quindi 0

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[mgrau]

"olegfresi": Ma non ho capito bene la tua spiegazione dalla terza riga.

Cioè che cosa esattamente?

[oleg.fresi]

Da qui: "Perchè la tua equazione sia una iperbole, occorre che quella somma sia in realtà una differenza, ossia che i due denominatori abbiano segno opposto, ossia i valori di k cercati sono quelli per cui k−2 e 6k sono discordi. Ora prova a continuare tu..."

[anonymous_0b37e9]

Indipendentemente dal fatto che sia $[a^2 gt b^2]$ oppure $[a^2 lt b^2]$:

Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse x

$x^2/a^2-y^2/b^2=1 rarr \{(k-2 gt 0),(6k lt 0):}$

Iperbole con i fuochi appartenenti all'asse y

$-x^2/a^2+y^2/b^2=1 rarr \{(k-2 lt 0),(6k gt 0):}$

Solo per fare un esempio:

$x^2/4-y^2/9=1$

$x^2/9-y^2/4=1$

hanno entrambe i fuochi appartenenti all'asse x;

$-x^2/4+y^2/9=1$

$-x^2/9+y^2/4=1$

hanno entrambe i fuochi appartenenti all'asse y. Inoltre, se $[a^2=b^2]$, gli asintoti sono perpendicolari e l'iperbole si dice equilatera. Più in generale, si può determinare il coefficiente angolare dei due asintoti mediante la seguente relazione:

$m^2=b^2/a^2$

[mgrau]

"anonymous_0b37e9":Indipendentemente dal fatto che sia $[a^2 gt b^2]$ oppure $[a^2 lt b^2]$....

Certo, ma non ho detto questo. Dicevo che se il TERMINE in x è maggiore di quello in y, i fuochi stanno sull'asse x.
In sostanza, se il segno meno sta davanti a $y^2/b^2$

[anonymous_0b37e9]

"mgrau":
Certo, ma non ho detto questo.

Mi sembrava strano. Scusa per il malinteso.

[oleg.fresi]

Ma quello che non capisco è perchè si mette $k-2>0$ e $6k<0$

[mgrau]

"olegfresi":Ma quello che non capisco è perchè si mette $k-2>0$ e $6k<0$

Questo poi sarà un po' difficile da ottenere...
Sarà, casomai, $k-2<0$ e $6k>0$ che comporta $0 < k < 2$.
Il senso è che ci deve essere una DIFFERENZA positiva (1) fra il termine in $x^2$ e quello in $y^2$, o viceversa, quindi, visto che invece la tua equazione presenta un SOMMA, i due denominatori devono essere di segno opposto, il che appunto succede se $0 < k < 2$.
In questo caso $x^2/(k-2)$ è negativo, e $y^2/(6k)$ è positivo; la tua equazione la possiamo scrivere $y^2/(6k) - x^2/abs(k-2) = 1$, che è un'iperbole con i fuochi sull'asse y
L'altro caso non può accadere.