Problema con integrale diffiicile
Buonasera, scusate il disturbo, cè questo problema:
Data la funzione $q(x)=1/(e^(2x)-4e^x+6)$ sia $Q(x)$ l'unica primitiva di $q(x)$ tale che $Q(log2)=2$ determinare l'equazione dell'unica tangente di flesso di $Q(x)$
allora vorrà dire di fare l'integrale di $1/(e^(2x)-4e^x+6)$ allora sostituisco $e^x=t$, $x=logt$ , $dx=1/t$...ma capisco che l'integrale assomiglia a quello dell'arcotangente, ma come faccio a integralrlo se cè $1/tdt$?
$int 1/(t^2-4t+6)(1/t)dt$
per parti non viene perchè poi avrei $-1/t^2arctan((t-2)/sqrt2)-int1/tarctan((t-2)/sqrt2)$
Data la funzione $q(x)=1/(e^(2x)-4e^x+6)$ sia $Q(x)$ l'unica primitiva di $q(x)$ tale che $Q(log2)=2$ determinare l'equazione dell'unica tangente di flesso di $Q(x)$
allora vorrà dire di fare l'integrale di $1/(e^(2x)-4e^x+6)$ allora sostituisco $e^x=t$, $x=logt$ , $dx=1/t$...ma capisco che l'integrale assomiglia a quello dell'arcotangente, ma come faccio a integralrlo se cè $1/tdt$?
$int 1/(t^2-4t+6)(1/t)dt$
per parti non viene perchè poi avrei $-1/t^2arctan((t-2)/sqrt2)-int1/tarctan((t-2)/sqrt2)$
Risposte
Ciao, per prima cosa fai la scomposizione in fratti semplici:
\[
\frac{at+b}{t^2-4t+6} + \frac{c}{t}
\] Poi vedrai che non è così difficile.
\[
\frac{at+b}{t^2-4t+6} + \frac{c}{t}
\] Poi vedrai che non è così difficile.
oh cavolo, quella cosa non l ho mai vista...non so neanche che cosa hai fatto, veramente non lho mai vista, che cos'è?
P.S: a parte questa cosa che mi lascia un po sconcertato, volevo risponderti all'altro post dove mi spiegasti come disegnare una funzione iperbolica, poi riguardo con calma quel post che hai scritto, perchè vedo che ci sono delle formule per calcolare il centro(come tu mi hai scritto) e per capire se sta nel primo/terzo quadrante o nel secondo/quarto, ecco anche quelle formule li non le ho, porprio non ho il materiale su cui studiarle e mi sto arraggiando su internet come meglio riesco, cmq mi sa che ti scriverò ancora....te lo dico giusto per dire, grazie
Cordiali saluti
P.S: a parte questa cosa che mi lascia un po sconcertato, volevo risponderti all'altro post dove mi spiegasti come disegnare una funzione iperbolica, poi riguardo con calma quel post che hai scritto, perchè vedo che ci sono delle formule per calcolare il centro(come tu mi hai scritto) e per capire se sta nel primo/terzo quadrante o nel secondo/quarto, ecco anche quelle formule li non le ho, porprio non ho il materiale su cui studiarle e mi sto arraggiando su internet come meglio riesco, cmq mi sa che ti scriverò ancora....te lo dico giusto per dire, grazie
Cordiali saluti
"ramarro":
oh cavolo, quella cosa non l ho mai vista...non so neanche che cosa hai fatto, veramente non lho mai vista, che cos'è?
Come non l'hai mai vista??? Ma se anche tu la utilizzavi qui: viewtopic.php?f=11&t=140952
ma li ho fatto la divisione di polinomi e poi avevo un polinomio di secondo grado sotto, qui invece moltiplicando $1/t$ l'avrei di terzo grado...di solito le cose che abbiamo noi hanno sotto un polinomio di secondo grado al max, quindi da quello che hai scritto capisco(forse) che hai fatto finta di avere $int (0t+1)/(t^2-4t+6)$ ma poi non capisco quel $+c/t$ per questo motivo non mi trovo
No no calma...
Nell'altro post avevi due fattori di primo grado. Qui invece hai un fattore di secondo grado ($t^2-4t+6$) e uno di primo ($t$) ma il procedimento è esattamente identico. Quindi non mettere $0t+1$: lascia $at+b$ e poi fai il sistema come nell'altro esercizio.
Nell'altro post avevi due fattori di primo grado. Qui invece hai un fattore di secondo grado ($t^2-4t+6$) e uno di primo ($t$) ma il procedimento è esattamente identico. Quindi non mettere $0t+1$: lascia $at+b$ e poi fai il sistema come nell'altro esercizio.
ok però visto che non mi ritrovo, ho bisogno di sapere se sto facendo giusto o no:
$int (at+b)/(t^2-4t+6)+intc/t$
DENOMINATORE COMUNE
$(at+b+c)/(t(t^2-4t+6))$
$at^2+bt+ct^2-4ct+6c$
$t(at+b+ct-4c)+6c$
poi però il sistema non so come farlo...dovrei trovare la $a$ la $b$ e la $c$ ma non so come
$int (at+b)/(t^2-4t+6)+intc/t$
DENOMINATORE COMUNE
$(at+b+c)/(t(t^2-4t+6))$
$at^2+bt+ct^2-4ct+6c$
$t(at+b+ct-4c)+6c$
poi però il sistema non so come farlo...dovrei trovare la $a$ la $b$ e la $c$ ma non so come
Tu hai $1/(t(t^2-4t+6))$ e lo vuoi riscrivere come $(at+b)/(t^2-4t+6) + c/t$, quindi fai quello che hai fatto (a parte quello che credo sia un errore di trascrizione) e poni
\[
at^2+bt+ct^2-4ct+6c = 1
\] Ora uguagli i coefficienti uno alla volta, imposti il sistema e lo risolvi. Proprio come prima.
\[
at^2+bt+ct^2-4ct+6c = 1
\] Ora uguagli i coefficienti uno alla volta, imposti il sistema e lo risolvi. Proprio come prima.
ma se uguaglio i coefficienti per la $a$ mi viene ad esempio: $at^2=-bt-ct^2+6c+1$ npn si puo risolvere una cosa cosi
No non in quel senso...
Chi è il coefficiente della $t^2$ a sinistra? Risposta: $a+c$
Chi è il coefficiente della $t^2$ a destra? Risposta: $0$
Quindi la prima equazione è $a+c = 0$.
Analogamente per i coefficienti di $t$ e i termini noti.
Chi è il coefficiente della $t^2$ a sinistra? Risposta: $a+c$
Chi è il coefficiente della $t^2$ a destra? Risposta: $0$
Quindi la prima equazione è $a+c = 0$.
Analogamente per i coefficienti di $t$ e i termini noti.
quindi in uncerto senso mi stai dicendo di fare:
$t^2(a+c)=-6c+bt+1$
vedo che a sinistra $t^2$ è moltiplicato per $a+c$, a destra non essendoci nessun $t^2$ è come se fosse moltiplicao per zero, quindi $a+c=0$
poi
$bt=t^2(a+c)-6c+1$
a sinistra cè $b$ che moltiplica $t$ a destra è come se ci fosse $0(t)$ quindi $b=0$....
$6c=-bt+t^2(a+c)+1$
a sinistra cè $6$ che moltiplica $c$ ma a destra non cè nessuna $c$ quindi è come se la $c$ a destra fosse molptiplicata per $0$ quindi $a,b,c=0$ ?
$t^2(a+c)=-6c+bt+1$
vedo che a sinistra $t^2$ è moltiplicato per $a+c$, a destra non essendoci nessun $t^2$ è come se fosse moltiplicao per zero, quindi $a+c=0$
poi
$bt=t^2(a+c)-6c+1$
a sinistra cè $b$ che moltiplica $t$ a destra è come se ci fosse $0(t)$ quindi $b=0$....
$6c=-bt+t^2(a+c)+1$
a sinistra cè $6$ che moltiplica $c$ ma a destra non cè nessuna $c$ quindi è come se la $c$ a destra fosse molptiplicata per $0$ quindi $a,b,c=0$ ?
No, non ci siamo capiti... 
Non spostare pezzi a sinistra o a destra. Lascia tutto così come è. Abbiamo
\[
at^2+bt+ct^2-4ct+6c = 1
\] Lo ripeto:
- il coefficiente della $t^2$ a sinistra è $a+c$ mentre a destra è $0$, quindi una equazione è $a+c=0$
- il coefficiente della $t$ a sinistra è $b-4c$ mentre a destra è $0$, quindi una equazione è $b-4c = 0$
- il termine noto a sinistra è $6c$ mentre a destra è $1$, quindi una equazione è $6c = 1$
In conclusione il sistema è
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
b-4c = 0 \\
6c = 1
\end{cases}
\] Ora lo devi risolvere...
Non spostare pezzi a sinistra o a destra. Lascia tutto così come è. Abbiamo
\[
at^2+bt+ct^2-4ct+6c = 1
\] Lo ripeto:
- il coefficiente della $t^2$ a sinistra è $a+c$ mentre a destra è $0$, quindi una equazione è $a+c=0$
- il coefficiente della $t$ a sinistra è $b-4c$ mentre a destra è $0$, quindi una equazione è $b-4c = 0$
- il termine noto a sinistra è $6c$ mentre a destra è $1$, quindi una equazione è $6c = 1$
In conclusione il sistema è
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
b-4c = 0 \\
6c = 1
\end{cases}
\] Ora lo devi risolvere...
allora, intanto scusa, veramente perdonami ma sono proprio cosi, sbaglio troppo non lo faccio apposta....
cmq dimmi se il ragionamento piu o meno cè
$at^2+bt+ct^2-4ct+6c=1$
1)in un certo senso potrei raccogliere $t^2(a+c)$ cosi dico che il coefficiente è $a+c$, a detra non essendoci nessun $t^2$ allora $a+c=0$
2)raccolgo $t$ e diventa $t(b-4c)$ dato ceh a destra è come se avessimo $0$ che moltiplica $t$ anche $b-4c=0$
3)$6c$ non è un incognita, perchè l'incognita sta nella variabile $t$, quindi è un termine noto, a destra l'unico termine noto che cè è $1$ quindi $6c=1$ no?
Cmq pure se fosse sbagliato cio che ho detto mi porto avanti risolvendo il tuo sistema...parto da $6c=1$ viene $c=1/6$
poi prendo il $b-4c=0$ sostituiisco $b-2/3=0$ allora $b=2/3$... prendo il primo $a=-1/6$
cmq dimmi se il ragionamento piu o meno cè
$at^2+bt+ct^2-4ct+6c=1$
1)in un certo senso potrei raccogliere $t^2(a+c)$ cosi dico che il coefficiente è $a+c$, a detra non essendoci nessun $t^2$ allora $a+c=0$
2)raccolgo $t$ e diventa $t(b-4c)$ dato ceh a destra è come se avessimo $0$ che moltiplica $t$ anche $b-4c=0$
3)$6c$ non è un incognita, perchè l'incognita sta nella variabile $t$, quindi è un termine noto, a destra l'unico termine noto che cè è $1$ quindi $6c=1$ no?
Cmq pure se fosse sbagliato cio che ho detto mi porto avanti risolvendo il tuo sistema...parto da $6c=1$ viene $c=1/6$
poi prendo il $b-4c=0$ sostituiisco $b-2/3=0$ allora $b=2/3$... prendo il primo $a=-1/6$
"ramarro":
cmq dimmi se il ragionamento piu o meno cè
$at^2+bt+ct^2-4ct+6c=1$
1)in un certo senso potrei raccogliere $t^2(a+c)$ cosi dico che il coefficiente è $a+c$, a detra non essendoci nessun $t^2$ allora $a+c=0$
2)raccolgo $t$ e diventa $t(b-4c)$ dato ceh a destra è come se avessimo $0$ che moltiplica $t$ anche $b-4c=0$
3)$6c$ non è un incognita, perchè l'incognita sta nella variabile $t$, quindi è un termine noto, a destra l'unico termine noto che cè è $1$ quindi $6c=1$ no?
[size=150]Sì, il ragionamento è perfetto! Bravo![/size]
E anche i risultati del sistema sono corretti!
questo è culo....adesso pero devo risolvere l integrale...lo faccio su carta poi lo carico su qui ma non so come verra
"ramarro":
questo è culo
No, perché? Escludi completamente l'idea che tu possa aver capito?
$int (-1/6t+2/3)/(t^2-4t+6)+1/6int1/t$
$int(-t+4)/(6(t^2-4t+6))+1/6log|t|$
$1/6int(-t+4)/(t^2-4t+6)+1/6log|t|$
poi però qua mi blocco perchè se il denominatore non è scomponibile, deve uscire l'$arctanx$ ma tutti gli esercizi che ho fatto io sull'arcotangente avevano come denominatore $1$ mentre qui ho a numeratore $-t+4$...come si fa a liberarci di questa cosa?
P.S: ahaha ho letto ora il tuo ultimo messaggio, sto pregando Dio di farmi passare sto esame, spero di capire anche il resto
$int(-t+4)/(6(t^2-4t+6))+1/6log|t|$
$1/6int(-t+4)/(t^2-4t+6)+1/6log|t|$
poi però qua mi blocco perchè se il denominatore non è scomponibile, deve uscire l'$arctanx$ ma tutti gli esercizi che ho fatto io sull'arcotangente avevano come denominatore $1$ mentre qui ho a numeratore $-t+4$...come si fa a liberarci di questa cosa?
P.S: ahaha ho letto ora il tuo ultimo messaggio, sto pregando Dio di farmi passare sto esame, spero di capire anche il resto
Allora da qui in poi le cose si complicano un po'... Risolvo solo l'integrale che ci dà problemi, trascurando il resto. Io posto tutti i passaggi senza particolari spiegazioni, poi tu mi dirai quali sono i punti che non ti sono chiari.
\[
-\frac{1}{6}\int{\frac{t-4}{t^2-4t+6}\ dt} = -\frac{1}{12}\left[\int{\frac{2t-4}{t^2-4t+6}\ dt} - 4\int{\frac{1}{t^2-4t+6}\ dt}\right]
\] Ora il primo pezzo viene subito:
\[
-\frac{1}{12}\log\left(t^2-4t+6\right)
\] Guardiamo il secondo pezzo
\[
\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2-4t+6}\ dt} = \frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2-4t+4+2}\ dt} = \frac{1}{3}\int{\frac{1}{2+\left(t-2\right)^2}\ dt}
\] \[
\frac{1}{6}\int{\frac{1}{1+\frac{\left(t-2\right)^2}{2}}\ dt} = \frac{1}{6}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)^2}\ dt} = \frac{1}{6}\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)^2}\ dt}
\] E a questo punto il risultato è
\[
\frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)
\]
\[
-\frac{1}{6}\int{\frac{t-4}{t^2-4t+6}\ dt} = -\frac{1}{12}\left[\int{\frac{2t-4}{t^2-4t+6}\ dt} - 4\int{\frac{1}{t^2-4t+6}\ dt}\right]
\] Ora il primo pezzo viene subito:
\[
-\frac{1}{12}\log\left(t^2-4t+6\right)
\] Guardiamo il secondo pezzo
\[
\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2-4t+6}\ dt} = \frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2-4t+4+2}\ dt} = \frac{1}{3}\int{\frac{1}{2+\left(t-2\right)^2}\ dt}
\] \[
\frac{1}{6}\int{\frac{1}{1+\frac{\left(t-2\right)^2}{2}}\ dt} = \frac{1}{6}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)^2}\ dt} = \frac{1}{6}\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)^2}\ dt}
\] E a questo punto il risultato è
\[
\frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan\left(\frac{t-2}{\sqrt{2}}\right)
\]
ok allora per quanto concerne il primo pezzo praticamente prima hai moltiplicatoe diviso per $-1$ perchè volevi ricavare la forma $int(f')/f=log|f(x)| $,poi hai usato la decomposizione (sommare e sottrarre $4$)poi hai dovuto ancora moltiplicare e dividere per lo stesso membro che però stavolta tale membro era $(2/2)$ non capisco pero perchè il $4$ non sia diventato $8$ in suddetta moltiplicazione, poi cmq una volta ricavata la forma$int(f')/f=log|f(x)| $ hai fatto il logarimo, la restante parte hai usato la formula per ricavare l'$arctanx$ che è per il denominatore $(x+b/2)^2+(c-(-b/2)^2)$, per ora non ho capito perchè il $4$ non sia diventao $8$
Sì è diventato $-8$ ma l'ho subito spezzato in $-4-4$
ah quindi la decomposizione non l'avevi usata, hai aspettatodi decomporre l'$8$...capito, adesso lo rifaccio come lhai fatto tu, sulla carta, il problema pero poi chiedeva $Q(log2)=2$ quindi la $t$ ritorna a essere $e^x$ cioè $e^(log2)$, il casino è come fare a ricavare la $c$ da tutta quella roba li....
be intanto provo a rifare l'integrale
be intanto provo a rifare l'integrale
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