Problema con integrale diffiicile
Buonasera, scusate il disturbo, cè questo problema:
Data la funzione $q(x)=1/(e^(2x)-4e^x+6)$ sia $Q(x)$ l'unica primitiva di $q(x)$ tale che $Q(log2)=2$ determinare l'equazione dell'unica tangente di flesso di $Q(x)$
allora vorrà dire di fare l'integrale di $1/(e^(2x)-4e^x+6)$ allora sostituisco $e^x=t$, $x=logt$ , $dx=1/t$...ma capisco che l'integrale assomiglia a quello dell'arcotangente, ma come faccio a integralrlo se cè $1/tdt$?
$int 1/(t^2-4t+6)(1/t)dt$
per parti non viene perchè poi avrei $-1/t^2arctan((t-2)/sqrt2)-int1/tarctan((t-2)/sqrt2)$
Data la funzione $q(x)=1/(e^(2x)-4e^x+6)$ sia $Q(x)$ l'unica primitiva di $q(x)$ tale che $Q(log2)=2$ determinare l'equazione dell'unica tangente di flesso di $Q(x)$
allora vorrà dire di fare l'integrale di $1/(e^(2x)-4e^x+6)$ allora sostituisco $e^x=t$, $x=logt$ , $dx=1/t$...ma capisco che l'integrale assomiglia a quello dell'arcotangente, ma come faccio a integralrlo se cè $1/tdt$?
$int 1/(t^2-4t+6)(1/t)dt$
per parti non viene perchè poi avrei $-1/t^2arctan((t-2)/sqrt2)-int1/tarctan((t-2)/sqrt2)$
Risposte
Ma no dai che ormai è finito! Abbiamo trovato
\[
Q\left(x\right) = \frac{x}{6}-\frac{1}{12}\log\left(e^{2x}-4e^x+6\right)+\frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan\left(\frac{e^x-2}{\sqrt{2}}\right)+C
\] Quindi \[
Q\left(\log 2\right) = \frac{\log 2}{6}-\frac{1}{12}\log\left(4-8+6\right) + \frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan 0 + C
\] Cioè \[
Q\left(\log 2\right) = \frac{\log 2}{6}-\frac{1}{12}\log 2 + C = \frac{1}{12}\log 2 + C
\] A questo punto risolvere \[
Q\left(\log 2\right) = 2
\] significa risolvere \[
\frac{1}{12}\log 2 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 2-\frac{1}{12}\log 2
\]
\[
Q\left(x\right) = \frac{x}{6}-\frac{1}{12}\log\left(e^{2x}-4e^x+6\right)+\frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan\left(\frac{e^x-2}{\sqrt{2}}\right)+C
\] Quindi \[
Q\left(\log 2\right) = \frac{\log 2}{6}-\frac{1}{12}\log\left(4-8+6\right) + \frac{1}{6}\sqrt{2}\arctan 0 + C
\] Cioè \[
Q\left(\log 2\right) = \frac{\log 2}{6}-\frac{1}{12}\log 2 + C = \frac{1}{12}\log 2 + C
\] A questo punto risolvere \[
Q\left(\log 2\right) = 2
\] significa risolvere \[
\frac{1}{12}\log 2 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C = 2-\frac{1}{12}\log 2
\]
si ok go sbagliato all'inizio ma poi mi è venuto anche a me...adesso sto g
uardando se capisco quello che hai fatto per trovare $Q(log2)=2$
uardando se capisco quello che hai fatto per trovare $Q(log2)=2$
"ramarro":
adesso sto guardando se capisco quello che hai fatto per trovare $Q(log2)=2$
No, attenzione: non ho trovato niente! Ho solo riportato l'equazione che l'esercizio ti chiedeva di risolvere.
scusa ma io so che $e^(logx)=x$ ma perchè $e^(log2)=4$? che calcolo hai fatto?
a no aspetta forse ho capito, la regola vuole che la $e$ se ne vada a quel punto e che resti solo l'argomento vero?
Eh?
\[
\LARGE
e^{\log 2} = 2
\] E da qui fai i calcoli che vuoi.
\[
\LARGE
e^{\log 2} = 2
\] E da qui fai i calcoli che vuoi.
si ok allora adesso l'ho fatto, è venuto anche a me , quindi $c=2-1/12log2$
$c=(24-log2)/12$
adesso lo sostituisco e ricavo $1/12log2+(24-log2)/(12)$ cosi'?
$c=(24-log2)/12$
adesso lo sostituisco e ricavo $1/12log2+(24-log2)/(12)$ cosi'?
"ramarro":
adesso lo sostituisco e ricavo $1/12log2+(24-log2)/(12)$ cosi'?
Ma perché?
Secondo me non ti è ben chiaro cosa chiedeva il testo... Chiedeva l'unica primitiva per cui $Q(log 2) = 2$, cioè chiedeva alla fine l'unico valore di $C$. Una volta trovato quello, l'esercizio è finito. Se proprio vuoi puoi sostituire il valore di $C$ all'interno della $Q(x)$ che avevamo trovato, e individuare così quella $Q(x)$ che rispetta le condizioni imposte.
Il problema è questo?
Nessuno ha chiesto di risolvere l'integrale. Viene chiesto il punto di flesso della $Q(x)$ che si ottiene con la derivata di $q(x)$ e che, guarda caso, coincide con l'unico punto di $Q(x)$ di cui sono note le coordinate, $F(log2, 2)$. Il problema si riduce a calcolare l'equazione della retta passante per $F(log2, 2)$ e avente coefficiente angolare $q(log2)$. Dato che $q(log2)=1/2$ la retta è $y-2=1/2(x-log2)$
"ramarro":
Data la funzione $q(x)=1/(e^(2x)-4e^x+6)$ sia $Q(x)$ l'unica primitiva di $q(x)$ tale che $Q(log2)=2$ determinare l'equazione dell'unica tangente di flesso di $Q(x)$
Nessuno ha chiesto di risolvere l'integrale. Viene chiesto il punto di flesso della $Q(x)$ che si ottiene con la derivata di $q(x)$ e che, guarda caso, coincide con l'unico punto di $Q(x)$ di cui sono note le coordinate, $F(log2, 2)$. Il problema si riduce a calcolare l'equazione della retta passante per $F(log2, 2)$ e avente coefficiente angolare $q(log2)$. Dato che $q(log2)=1/2$ la retta è $y-2=1/2(x-log2)$
Confesso che non avevo nemmeno letto l'esercizio fino in fondo... Ero partito con l'idea di trovare la $Q(x)$ e ho tirato dritto! 
oh cavolo, allora quello che è stato fatto ieri non serviva....cioè allora se ho ben capito da quel che ha detto il moderatore, devo:
1)fare la derivata
2)porre la derivata $>0$ in modo che trovo i flessi
3)fare l'equazione della retta tangente $y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)$ dove però stavolta $f(xo)=1/(e^x-4e^x+6)$ e $f'(xo)=q'(xo)$? o sbaglio ancora?
poi se cosi fosse giusto cerco di farlo e ricopiarlo sempre su questo topic
1)fare la derivata
2)porre la derivata $>0$ in modo che trovo i flessi
3)fare l'equazione della retta tangente $y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)$ dove però stavolta $f(xo)=1/(e^x-4e^x+6)$ e $f'(xo)=q'(xo)$? o sbaglio ancora?
poi se cosi fosse giusto cerco di farlo e ricopiarlo sempre su questo topic
allora chiamo $e^x=t$
DERIVO $q(x)$
$(t^2-4t+6)^(-1)=-(t^2-4t+6)^(-2)(2t-4)$
$-(2t-4)>=0$
$2t<=4$
$x<=log2$
quindi in $log2$ ho un flesso
l'equazione della retta tangente è
$y-1/(e^(2x)-4e^x+6)=-((2e^x-4)/(e^2x-4e^x+6)^2)(x-log2)$
adesso sostituisco $log2$ a $x$ o no?
DERIVO $q(x)$
$(t^2-4t+6)^(-1)=-(t^2-4t+6)^(-2)(2t-4)$
$-(2t-4)>=0$
$2t<=4$
$x<=log2$
quindi in $log2$ ho un flesso
l'equazione della retta tangente è
$y-1/(e^(2x)-4e^x+6)=-((2e^x-4)/(e^2x-4e^x+6)^2)(x-log2)$
adesso sostituisco $log2$ a $x$ o no?
Fai finta di conoscere la funzione $Q(x)$, per conoscere i suoi flessi devi fare la sua derivata seconda,
allora $Q'(x) = q(x)$, mentre $Q''(x) = q'(x)$
posto $Q''(x) = 0$ (non serve la disequazione in quanto ti serve solo il punto, non la concavità della funzione)
ottieni $e^x=2$ cioè $x=log2$, sai già che $Q(log2)=2$, quindi hai le coordinate del punto di flesso (il testo dice già che la funzione ha un unico flesso) $F(log2, 2)$
Adesso per calcolare la tangente devi trovare anche il coefficiente angolare e lo calcoli con la derivata prima
$Q'(log2) = q(log2) = 1/(e^(log4)-4e^(log2) +6) =1/(4-8+6) = 1/2$
Infine puoi applicare la formula $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ che diventa $y-2=1/2(x-log2)$
allora $Q'(x) = q(x)$, mentre $Q''(x) = q'(x)$
posto $Q''(x) = 0$ (non serve la disequazione in quanto ti serve solo il punto, non la concavità della funzione)
ottieni $e^x=2$ cioè $x=log2$, sai già che $Q(log2)=2$, quindi hai le coordinate del punto di flesso (il testo dice già che la funzione ha un unico flesso) $F(log2, 2)$
Adesso per calcolare la tangente devi trovare anche il coefficiente angolare e lo calcoli con la derivata prima
$Q'(log2) = q(log2) = 1/(e^(log4)-4e^(log2) +6) =1/(4-8+6) = 1/2$
Infine puoi applicare la formula $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ che diventa $y-2=1/2(x-log2)$
scusate il disturbo ma io mi ritrovo solo in cui devo sostituire $log2$ a $x$ ....in un certo senso voi mi dite di fare cosi:
1)sostituire $log2$ a $xo$ di $f(xo)$ e ricavare $1/2$ ecco basta, quella è la mia $f(xo)$ ...poi pero devo fare l'equazione della retta tangente ma non capisco come fa a risultare quello che voi avete scritto....
cioè per me sarebbe cosi:
$y-1/2=(-(2e^x-4))/(e^(2x)-4e^x+6)^2(x-log2)$
poi da quel che ne so io devo ancora sostituire $log2$ alla $x$ di $f'(xo)$
cosi che ho $f'(xo)=(4-4)$ al numeratore che mi annulla tutto e arriverei a avere solo $y-1/2=0$ e basta non capisco che cosa devo fare dopo avere ricavato quell'$1/2$ che mi dite
------MODIFICO IL MESSAGGIO-----
Per portarmi avanti ho fatto una ltro esercizio che in teoria dovrebbe essere simile, pubblico qui sotto il tutto poi voi con tutta tranquillita se volete farlo potete darli un occhio, pper ora pero quest'ultimo che scrivo qui sotto non è urgente, lo scrivo solo per scriverlo nello stesso argomento per evitare di mettere in disordine il sito...
ESERCIZIO NUOVO
problema
la funzione $F(x)$ definita da
$F(x)=int 1/(t^2e^t+3)dt$
ha esattamente due punti di flesso, una delle tangenti di flesso ha coefficiente angolare $m=1/3$ determinare il coefficiente angolare dell altra tangente di flesso
Allora l'integrando è gia la $f'(x)$
quindi trovo la sua derivata, poi la risolvo per $>=0$ e trovo i flessi
DERIVATA di $f'(x)$
$(-(2xe^x+x^2e^x))/(x^2e^x+3)^2$
$N:-x(2e^x+xe^x)>=0$
positiva se $x<=-2Vx>=0$
adesso per sapere quale delle 2 rette ha coefficiente angolare $=1/3$ sostituisco i punti di flesso cioè $0$ e $-2$ a$f(x0)$ e trovo:
nel flesso $x=-2$
il coefficiente angolare è $1/(-2^2e^2+3)$
in $x=0$
il coefficiente angolare è $m=1/3$
adesso calcolo la retta tangente nel punto $x=-2$
$y-1/(-4e^2+3)=(-x(2e^x+xe^x))/(x^2e^x+3)^2(x+2)$
$y-1/(-4e^2+3)=-(-2(2e^(-2)-2e^(-2))/(-2^2+3)^2(x+2)$
$y-1/(-4e^2+3)=0$
1)sostituire $log2$ a $xo$ di $f(xo)$ e ricavare $1/2$ ecco basta, quella è la mia $f(xo)$ ...poi pero devo fare l'equazione della retta tangente ma non capisco come fa a risultare quello che voi avete scritto....
cioè per me sarebbe cosi:
$y-1/2=(-(2e^x-4))/(e^(2x)-4e^x+6)^2(x-log2)$
poi da quel che ne so io devo ancora sostituire $log2$ alla $x$ di $f'(xo)$
cosi che ho $f'(xo)=(4-4)$ al numeratore che mi annulla tutto e arriverei a avere solo $y-1/2=0$ e basta non capisco che cosa devo fare dopo avere ricavato quell'$1/2$ che mi dite
------MODIFICO IL MESSAGGIO-----
Per portarmi avanti ho fatto una ltro esercizio che in teoria dovrebbe essere simile, pubblico qui sotto il tutto poi voi con tutta tranquillita se volete farlo potete darli un occhio, pper ora pero quest'ultimo che scrivo qui sotto non è urgente, lo scrivo solo per scriverlo nello stesso argomento per evitare di mettere in disordine il sito...
ESERCIZIO NUOVO
problema
la funzione $F(x)$ definita da
$F(x)=int 1/(t^2e^t+3)dt$
ha esattamente due punti di flesso, una delle tangenti di flesso ha coefficiente angolare $m=1/3$ determinare il coefficiente angolare dell altra tangente di flesso
Allora l'integrando è gia la $f'(x)$
quindi trovo la sua derivata, poi la risolvo per $>=0$ e trovo i flessi
DERIVATA di $f'(x)$
$(-(2xe^x+x^2e^x))/(x^2e^x+3)^2$
$N:-x(2e^x+xe^x)>=0$
positiva se $x<=-2Vx>=0$
adesso per sapere quale delle 2 rette ha coefficiente angolare $=1/3$ sostituisco i punti di flesso cioè $0$ e $-2$ a$f(x0)$ e trovo:
nel flesso $x=-2$
il coefficiente angolare è $1/(-2^2e^2+3)$
in $x=0$
il coefficiente angolare è $m=1/3$
adesso calcolo la retta tangente nel punto $x=-2$
$y-1/(-4e^2+3)=(-x(2e^x+xe^x))/(x^2e^x+3)^2(x+2)$
$y-1/(-4e^2+3)=-(-2(2e^(-2)-2e^(-2))/(-2^2+3)^2(x+2)$
$y-1/(-4e^2+3)=0$
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