Problema con il modulo di una funzione definita a tratti
Salve a tutti ragazzi, colgo innanzitutto l'occasione per farvi gli auguri di buone feste. Avrei, come sopra enunciato, un problemino riguardante il modulo di una funzione definita a tratti. Il testo è il seguente: Considera la funzione $f(x)=\{(a-e^x, se x<0),(bsen(2x), se 0<=x>=\pi) :}$ Determina a e b in modo che essa sia continua e derivabile e traccia il grafico di $y=|f(x)|$ e stabilisci i punti di non derivabilità.
Bene, ho trovato i parametri $a=1 e b=-1/2$, ho tracciato il grafico di $y=|f(x)|$ ribaltando la parte negativa del grafico di $y=f(x)$ ma ora non so come calcolare la derivata di $y=|f(x)|$ per stabilire i punti di non derivabilità. Ho pensato di applicare i moduli ad entrambe le funzioni che compongono $y=f(x)$ ma sono riuscito a calcolare un solo punto di non derivabilità, quando, mi sembra, debbano essere almeno due. Potreste darmi qualche dritta?
Bene, ho trovato i parametri $a=1 e b=-1/2$, ho tracciato il grafico di $y=|f(x)|$ ribaltando la parte negativa del grafico di $y=f(x)$ ma ora non so come calcolare la derivata di $y=|f(x)|$ per stabilire i punti di non derivabilità. Ho pensato di applicare i moduli ad entrambe le funzioni che compongono $y=f(x)$ ma sono riuscito a calcolare un solo punto di non derivabilità, quando, mi sembra, debbano essere almeno due. Potreste darmi qualche dritta?
Risposte
ciao poppilop!! auguri anche a te!!
è un classico quando c'è un modulo avere punti dove la derivata prima non esiste.
possono essere punti angolosi, cuspidi o flessi tangente verticale
il primo punto lo hai fatto bene è giusto
riesci a postare il grafico di $|f(x)|$?
Ricorda per quando fai il grafico del modulo che
$|f(x)| = f(x) $ dove $ f(x)>=0$ (quindi lo lasci come è "in originale" e che invece
$|f(x)| = -f(x) $ dove $ f(x)<0$ e qui ribalti come tu stesso dicevi
già dal grafico dovresti vedere due punti in cui la funzione fa uno spigolo, un angolo molto pronunciato e li andiamo a cercare i due punti di non derivabilità
per esempio io ho fatto adesso il grafico (ma non sono capace a postarlo) e vedo due bei punti angolosi in $x=0$ e $x=pi/2$
sperando di non aver sbagliato dei calcoli che ho fatto un po' frettolosamente... ma se mi spieghi come postare una foto ti metto il grafico che magari il problema è solo li...
oltre alla parte grafica che ti fornisce solo indicazioni di massima passiamo alla parte analitica vera e propria: devi fare il limite destro e sinistro della derivata del modulo della funzione in quei due punti...
per esempio
$lim_(x->0^+) (d/dx)|f(x)|=1$
$lim_(x->0^-) (d/dx)|f(x)|=-1$
da cui deriva che $x=0$ è proprio un bel punto angoloso... fai lo stesso con $x=pi/2$ e ottieni la stessa cosa
è un classico quando c'è un modulo avere punti dove la derivata prima non esiste.
possono essere punti angolosi, cuspidi o flessi tangente verticale
il primo punto lo hai fatto bene è giusto
riesci a postare il grafico di $|f(x)|$?
Ricorda per quando fai il grafico del modulo che
$|f(x)| = f(x) $ dove $ f(x)>=0$ (quindi lo lasci come è "in originale" e che invece
$|f(x)| = -f(x) $ dove $ f(x)<0$ e qui ribalti come tu stesso dicevi
già dal grafico dovresti vedere due punti in cui la funzione fa uno spigolo, un angolo molto pronunciato e li andiamo a cercare i due punti di non derivabilità
per esempio io ho fatto adesso il grafico (ma non sono capace a postarlo) e vedo due bei punti angolosi in $x=0$ e $x=pi/2$
sperando di non aver sbagliato dei calcoli che ho fatto un po' frettolosamente... ma se mi spieghi come postare una foto ti metto il grafico che magari il problema è solo li...
oltre alla parte grafica che ti fornisce solo indicazioni di massima passiamo alla parte analitica vera e propria: devi fare il limite destro e sinistro della derivata del modulo della funzione in quei due punti...
per esempio
$lim_(x->0^+) (d/dx)|f(x)|=1$
$lim_(x->0^-) (d/dx)|f(x)|=-1$
da cui deriva che $x=0$ è proprio un bel punto angoloso... fai lo stesso con $x=pi/2$ e ottieni la stessa cosa
Purtroppo non sono capace nemmeno io di postare il grafico, comunque deduco graficamente che $x=\pi/2$ è un punto angoloso?
Allora dal grafico VEDI quali POTREBBERO essere punti a derivata inesistente... sono ovvi, hai un angolo molto acuto o una cuspide, una "punta" insomma li vedi subito dalla forma
Poi però passi alla dimostrazione matematica, fai come ti scrivo alla fine il limite destro e sinistro della derivata del modulo della funzione in quel punto ($x=pi/2$) e vedi che sono diversi ma finiti (+ e -1 anche li...) ne deduci che hai un ulteriore punto angoloso in ($x=pi/2$)
In definitiva in un punto in cui la derivata prima NON esiste (e lo dimostri calcolando il limite destro e sinistro della derivata della f(x) in quel punto e trovando due valori diversi per i due limiti) hai un punto angoloso se i limiti sono differenti ma dei numeri finiti... invece hai cuspide o flesso a tangente verticali se trovi dei limiti infiniti... le sai queste cose?
Per fare esercizio fai il classico esempio che ti fanno tutti i libri... considera la funzione molto semplice $|x|$ fanne il grafico e prova a dimostrare che in x=0 hai un punto angoloso
Poi però passi alla dimostrazione matematica, fai come ti scrivo alla fine il limite destro e sinistro della derivata del modulo della funzione in quel punto ($x=pi/2$) e vedi che sono diversi ma finiti (+ e -1 anche li...) ne deduci che hai un ulteriore punto angoloso in ($x=pi/2$)
In definitiva in un punto in cui la derivata prima NON esiste (e lo dimostri calcolando il limite destro e sinistro della derivata della f(x) in quel punto e trovando due valori diversi per i due limiti) hai un punto angoloso se i limiti sono differenti ma dei numeri finiti... invece hai cuspide o flesso a tangente verticali se trovi dei limiti infiniti... le sai queste cose?
Per fare esercizio fai il classico esempio che ti fanno tutti i libri... considera la funzione molto semplice $|x|$ fanne il grafico e prova a dimostrare che in x=0 hai un punto angoloso
Grazie per la risposta, allora il mio cruccio è la parte matematica. $x=\pi/2$ però si riferisce alla funzione $-1/2sen(2x)$ la cui derivata è $cos(2x)$. Ora faccio il limite del modulo della derivata o no?
Ho provato a postare la foto fatta col cellulare ma il limite massimo è 1 Mb quindi non ci siamo non riesco la foto è 2Mb... uffa....
allora la derivata di $-1/2 sin (2x)$ è $-cos(2x)$ e tu devi fare il limite destro e sinistro del modulo di questa funzione derivata... solo perchè quello che ti chiede l'esercizio è di verificare che il MODULO di f(x) abbia dei punti di non derivabilità
se facessi limite destro e sinistro invece di $f'(x)$ troveresti due valori uguali per forza, lo hai imposto tu all'inizio!
quindi
$lim_(x->(pi/2)^+) (d/dx) |f(x)| = 1$
$lim_(x->(pi/2)^-) (d/dx) |f(x)| = -1$
ti risulta? riesci a vederlo?
allora la derivata di $-1/2 sin (2x)$ è $-cos(2x)$ e tu devi fare il limite destro e sinistro del modulo di questa funzione derivata... solo perchè quello che ti chiede l'esercizio è di verificare che il MODULO di f(x) abbia dei punti di non derivabilità
se facessi limite destro e sinistro invece di $f'(x)$ troveresti due valori uguali per forza, lo hai imposto tu all'inizio!
quindi
$lim_(x->(pi/2)^+) (d/dx) |f(x)| = 1$
$lim_(x->(pi/2)^-) (d/dx) |f(x)| = -1$
ti risulta? riesci a vederlo?
Sarebbe $lim_(x->(pi/2)^+) |-cos(2x)|=|1|=1$
e $lim_(x->(pi/2)^-) |-cos(2x)|=|-1|=1$
Non sarebbero uguali?
e $lim_(x->(pi/2)^-) |-cos(2x)|=|-1|=1$
Non sarebbero uguali?
No... allora lo scrivo così, mi sono spiegato male...:
valutiamo solo la parte destra cioè tra $0$ e $pi$
$f(x)= -1/2 sin (2x)$ per $0<=x<=pi$
quindi hai
$|f(x)|= -1/2 sin (2x)$ per $pi/2<=x<=pi$
$|f(x)|= 1/2 sin (2x)$ per $0<=x
convieni anche tu con quanto ho scritto??
Allora la derivata di questa funzione modulo è
$(d/dx)|f(x)|= - cos (2x)$ per $pi/2<=x<=pi$
$(d/dx)|f(x)|= cos (2x)$ per $0<=x
sei d'accordo? se adesso fai i due limiti vedi che sono diversi
valutiamo solo la parte destra cioè tra $0$ e $pi$
$f(x)= -1/2 sin (2x)$ per $0<=x<=pi$
quindi hai
$|f(x)|= -1/2 sin (2x)$ per $pi/2<=x<=pi$
$|f(x)|= 1/2 sin (2x)$ per $0<=x
convieni anche tu con quanto ho scritto??
Allora la derivata di questa funzione modulo è
$(d/dx)|f(x)|= - cos (2x)$ per $pi/2<=x<=pi$
$(d/dx)|f(x)|= cos (2x)$ per $0<=x
sei d'accordo? se adesso fai i due limiti vedi che sono diversi
Ora mi è più chiaro, ho capito. Il modulo è riferito alla funzione di partenza e non alla derivata 
Grazie mille
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo