Problema con i massimi e i minimi relativi (25504)

[fra17]

tra tutti i triangoli di base assegnata e di area uguale, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo

[ciampax]

Allora, questo è un tipico esercizio da svolgere con le derivate, per calcolare massimi e minimi. Se indichiamo con A l'area segnata e con b la base assegnata, otteniamo ovviamente che l'altezza h del triangolo deve misurare

[math]h=\frac{2A}{b}[/math]

Ora per calcolare il perimetro, consideriamo l'altezza relativa alla base: essa cade perpendicolarmente sulla base dividendola in due segmenti di lunghezza

[math]x, b-x[/math]

, con

[math]x < b[/math]

(questo supponendo che l'altezza cada all'interno del triangolo. Il caso in cui cade all'esterno non ci è però di nessuna utilità, visto che in un triangolo isoscele, che è il punto a cui vogliamo giungere, questa cosa non accade). Le misure dei lati del triangolo allora si ottengono così

[math]a=\sqrt{h^2+x^2},\qquad c=\sqrt{h^2+(b-x)^2}[/math]

in quanto essi risultano le ipotenuse dei due triangoli rettangoli i cui cateti sono l'altezza (comune) e uno dei due segmenti della base.

Allora la funzione che ti dà il perimetro è

[math]p(x)=b+\sqrt{h^2+x^2}+\sqrt{h^2+(b-x)^2}[/math]

.

La sua derivata prima è

[math]p'(x)=\frac{2x}{\sqrt{h^2+x^2}}-\frac{2(b-x)}{\sqrt{h^2+(b-x)^2}}[/math]

Se risolviamo l'equazione

[math]p'(x)=0[/math]

otteniamo

[math]2x\sqrt{h^2+(b-x)^2}=2(b-x)\sqrt{h^2+x^2}[/math]

da cui elevando al quadrato ambo i membri

[math]4x^2(h^2+(b-x)^2)=4(b-x)^2(h^2+x^2)[/math]

[math]x^2 h^2+x^2 (b-x)^2-(b-x)^2 h^2-x^2 (b-x)^2=0[/math]

[math]x^2-(b-x)^2=0[/math]

[math]-b^2+2bx=0[/math]

e quindi la soluzione è x=b/2. Ne segue che l'altezza divide la base a metà e che a=c, per cui il triangolo è isoscele.

[fra17]

capito! grazie mille

[ciampax]

Chiudo!