Problema con gli insiemi
Ciao a tutti...mi potreste aiutare con questo problema da risolvere utilizzando gli insiemi?
A un concorso partecipano 80 candidati che devono superare 3 prove.
8 candidati hanno svolto in modo corretto tutte e 3 le prove.
Tutti quelli che hanno superato la seconda prova hanno superato anche le altre due.
30 candidati hanno superato solo la prima e la terza prova.
10 candidati non hanno superato nessuna prova.
60 candidati hanno superato almeno la prima prova.
Quanti candidati hanno superato almeno la terza prova?
Se fosse possibile avere anche un grafico che spiega la soluzione sarebbe ottimo.
Grazie a tutti.
A un concorso partecipano 80 candidati che devono superare 3 prove.
8 candidati hanno svolto in modo corretto tutte e 3 le prove.
Tutti quelli che hanno superato la seconda prova hanno superato anche le altre due.
30 candidati hanno superato solo la prima e la terza prova.
10 candidati non hanno superato nessuna prova.
60 candidati hanno superato almeno la prima prova.
Quanti candidati hanno superato almeno la terza prova?
Se fosse possibile avere anche un grafico che spiega la soluzione sarebbe ottimo.
Grazie a tutti.
Risposte
Ecco a te, Sara! Non ti ho postato i grafici, ma la soluzione che ti lascio dovrebbe essere abbastanza chiara da farti capire comunque. Ciao!
Disegniamo prima di tutto un insieme contenente 80 elementi: ogni elemento rappresenta uno dei concorrenti della gara.
All'interno di questo insieme ne tracciamo un secondo, contenente solo 8 degli 80 elementi: questo insieme di 8 elementi rappresenta coloro che hanno superato tutte e tre le prove della gara.
Il problema ci dice poi una cosa interessante: tutti quelli che hanno superato la seconda prova hanno superato anche le altre due.
Tutto questo significa che l'insieme di coloro che hanno superato la seconda prova coincide con l'insieme di coloro che hanno superato le tre prove. Sono in altre parole due insiemi coincidenti: nessun concorrente ha superato la seconda prova senza averle superate tutte quante.
A questo punto occorrere disegnare un altro insieme: quello di coloro che hanno superato solo la prima e la terza prova. Questo insieme, che non ha punti in comune con quello di 8 elementi, ne contiene invece 30.
Ora, 60 candidati hanno superato ALMENO la prima prova.
Questo insieme comprende i concorrenti che hanno superato SOLO la prima prova, i concorrenti che hanno superato la prima e la terza prova (30) e i concorrenti che le hanno superate tutte quante ( 8 ). Insomma tutti coloro che, indipendentemente da come si sono comportati nelle altre due prove, hanno superato la prima.
Sapendo questo, è facile calcolare il numero di elementi che hanno superato SOLO la prima prova:
60-30-8 = 22
Il problema richiede il numero di elementi che hanno superato ALMENO la terza prova.
Questo insieme comprende i concorrenti che hanno superato SOLO la terza prova, i concorrenti che hanno superato la prima e la terza prova (30) e i concorrenti che le hanno superate tutti quanti ( 8 ).
Il punto è che non sappiamo quanti hanno superato solo la terza prova. Possiamo però aggirare l'ostacolo con un altro ragionamento.
Il numero di elementi totali di questo insieme è pari al numero dei concorrenti totali (80) meno il numero di concorrenti che non ha vinto niente (10) meno il numero di elementi che hanno vinto SOLO la prima prova (22), giacchè chi ha vinto la 2° le ha vinte tutte e rientra perciò nell'insieme considerato.
Quindi 80-10 -22 = 48.
La riprova è questa:
n°di elementi che hanno superato ALMENO la terza prova + n° di elementi che hanno superato SOLo la prima prova = 80 -10 elementi
E infatti: 48 +22 = 80-10
Disegniamo prima di tutto un insieme contenente 80 elementi: ogni elemento rappresenta uno dei concorrenti della gara.
All'interno di questo insieme ne tracciamo un secondo, contenente solo 8 degli 80 elementi: questo insieme di 8 elementi rappresenta coloro che hanno superato tutte e tre le prove della gara.
Il problema ci dice poi una cosa interessante: tutti quelli che hanno superato la seconda prova hanno superato anche le altre due.
Tutto questo significa che l'insieme di coloro che hanno superato la seconda prova coincide con l'insieme di coloro che hanno superato le tre prove. Sono in altre parole due insiemi coincidenti: nessun concorrente ha superato la seconda prova senza averle superate tutte quante.
A questo punto occorrere disegnare un altro insieme: quello di coloro che hanno superato solo la prima e la terza prova. Questo insieme, che non ha punti in comune con quello di 8 elementi, ne contiene invece 30.
Ora, 60 candidati hanno superato ALMENO la prima prova.
Questo insieme comprende i concorrenti che hanno superato SOLO la prima prova, i concorrenti che hanno superato la prima e la terza prova (30) e i concorrenti che le hanno superate tutte quante ( 8 ). Insomma tutti coloro che, indipendentemente da come si sono comportati nelle altre due prove, hanno superato la prima.
Sapendo questo, è facile calcolare il numero di elementi che hanno superato SOLO la prima prova:
60-30-8 = 22
Il problema richiede il numero di elementi che hanno superato ALMENO la terza prova.
Questo insieme comprende i concorrenti che hanno superato SOLO la terza prova, i concorrenti che hanno superato la prima e la terza prova (30) e i concorrenti che le hanno superate tutti quanti ( 8 ).
Il punto è che non sappiamo quanti hanno superato solo la terza prova. Possiamo però aggirare l'ostacolo con un altro ragionamento.
Il numero di elementi totali di questo insieme è pari al numero dei concorrenti totali (80) meno il numero di concorrenti che non ha vinto niente (10) meno il numero di elementi che hanno vinto SOLO la prima prova (22), giacchè chi ha vinto la 2° le ha vinte tutte e rientra perciò nell'insieme considerato.
Quindi 80-10 -22 = 48.
La riprova è questa:
n°di elementi che hanno superato ALMENO la terza prova + n° di elementi che hanno superato SOLo la prima prova = 80 -10 elementi
E infatti: 48 +22 = 80-10
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