Problema con curva parametrica

[aleacc1]

E' data la funzione $ (kx^2 - k + 1)/(x^2 +1) $.

Determina k in modo che il grafico sia tangente alla curva $ y = 1 - sqrt(1-x^2) $ nel punto di minimo relativo.

Considerato un punto P di ascissa positiva e appartenente al grafico di f, calcola, in funzione dell'ascissa del punto, l'area del triangolo PHA, dove H indica la proiezione di P sull'asintoto e A è il punto (0;1). Determina quindi il punto P per cui risulta massima l'area del triangolo.

Grazie per l'aiuto!

[teorema55]

Il problema sembra complicato ma, almeno, i calcoli sono molto semplici.
Comincia a studiare la

$y=1-√(1-x^2)$

che esiste per

$-1
e trova, per esempio calcolando la derivata prima e ponendola uguale a zero, le coordinate del punto di minimo relativo (e assoluto) che è l'origine O(0,0). Conferma che è proprio un minimo, se vuoi, verificando che la derivata seconda, in x=0, è positiva (qui stanno gli unici calcoli un po' complicati).

Passiamo alla funzione parametrica:
perché sia tangente in O(0,0) deve passare per quel punto. Sostituendo le coordinate di O nella funzione trovi che

$K=1$

e, sostituendo questo valore nell'equazione parametrica, troverai la funzione che, messa a sistema con la curva, ti darà l'unica soluzione

$x=0$

(tangenza in O)

La risoluzione del triangolo è facilissima e l'area è

$A=(x_1(1-y_1))/2$

Trovane la derivata prima e ponila uguale a zero. Verificherai che per

$x=1$

l'area del triangolo è massima.
Augurandomi di non avere commesso errori di calcolo, spero di esserti stato utile.

[@melia]

La condizione di esistenza, ad essere precisi, è $-1<=x<=1$.
Il resto è tutto corretto, anche nei calcoli.

[teorema55]

Chiedo venia.

[aleacc1]

"teorema55":Il problema sembra complicato ma, almeno, i calcoli sono molto semplici.
Comincia a studiare la

$y=1-√(1-x^2)$

che esiste per

$-1
e trova, per esempio calcolando la derivata prima e ponendola uguale a zero, le coordinate del punto di minimo relativo (e assoluto) che è l'origine O(0,0). Conferma che è proprio un minimo, se vuoi, verificando che la derivata seconda, in x=0, è positiva (qui stanno gli unici calcoli un po' complicati).

Passiamo alla funzione parametrica:
perché sia tangente in O(0,0) deve passare per quel punto. Sostituendo le coordinate di O nella funzione trovi che

$K=1$

e, sostituendo questo valore nell'equazione parametrica, troverai la funzione che, messa a sistema con la curva, ti darà l'unica soluzione

$x=0$

(tangenza in O)

La risoluzione del triangolo è facilissima e l'area è

$A=(x_1(1-y_1))/2$

Trovane la derivata prima e ponila uguale a zero. Verificherai che per

$x=1$

l'area del triangolo è massima.
Augurandomi di non avere commesso errori di calcolo, spero di esserti stato utile.

Grazie mille davvero, la parte dell'area alla fine l'ho risolta da solo, ma grazie ancora per la disponibilità!

[@melia]

"Heisen98":... la parte dell'area alla fine l'ho risolta da solo, ...

Anche stavolta lo scopo del forum è stato raggiunto: un input e poi sei riuscito a terminare da solo. Ottimo.