Problema! (63348)

[benjy_3]

Disegna due rette parallele r e s tagliate dalla trasversale t. Indica con A il punto di intersezione di t con r, con B quello di t con s. Traccia le bisettrici di una coppia di angoli coniugati interni e chiama C il loro punto di intersezione. Disegna infine la retta per C perpendicolare a r, che incontra in H e s in K. Dimostra che AB è congruente ad AH+BK. (SUGGERIMENTO: traccia l'altezza relativa ad AB nel triangolo ABC).

[BIT5]

Sfruttando il suggerimento, chiamando Q il piede dell'altezza CQ relativa al lato AB, si formano due triangoli nuovi: AQC e BQC

Consideriamo per iniziare i triangoli AQC e ACH.

Essi sono entrambi rettangoli (CH e' perpendicolare a r per ipotesi e QC e' perpendicolare ad AB per costruzione)

Hanno un angolo congruente (gli angoli HAC e QAC sono congruenti perche' divisi dalla bisettrica AC)

Pertanto per differenza, avranno congruenti anche il terzo angolo.

Infine condividono l'ipotenusa AC e pertanto i due triangoli sono congruenti perche' hanno tutti gli angoli uguali e un lato congruente.

Pertanto QC=HC perche' lati corrispondenti (che non ci interessa)
e AQ=AH

Analogamente sfruttando i triangoli BAQ e CKB dimostri che BQ=BK.

Pertanto essendo AH=AQ e BK=BQ avremo che AH+BK=AQ+BQ

ma AQ+BQ altro non e' che AB

Pertanto la dimostrazione e' conclusa