Problema

[smemo89]

Ciao a tutti. Vorrei qualche "direttiva" per risolvere questo problema: Assegnata una circonferenza di diametro AB=2 si conduca per A la retta tangente e su di essa si consideri un punto M tale che AM=X. Da M si tracci l'ulteriore retta tangente alla circonferenza e sia C il punto in cui essa incontra il prolungamento di AB. Posto AC=Y si esprima Y in funzione di X e si disegni il grafico relativo.
Ora, il "disegno" già l'ho fatto e so che dovrei utilizzare il teorma di Pitagora e quello della Similitudine. Premetto che questo è il mio secondo problema del genere che svolgo.
Il risultato è: $y=(2x^2)/(1-x^2)$.
"Vorrei", quindi, qualche "direttiva" per svolgerlo.
Vi Ringarzio in anticipo per l'aiuto che mi offrirete. Grazie & Ciao.

[G.D.5]

Sicuro che venga $y=\frac{2x^2}{1-x^2}$?

Lo chiedo perché a me viene $y=\frac{2x^2}{x^2 - 1}$.

Ad ogni modo, posto $AC=y$ si ha che $OC=y - 1$, ove $O$ è il punto medio di $AB$.
Unito $O$ con $N$ (ove $N$ è il punto di tangenza tra la circonferenza e la seconda tangenta a questa condotta da $M$) si ha che $ON=1$.
Applicando Pitagora in $ONC$ si trova $NC$.
Applicando Pitagora in $AMC$ si trova la funzione che lega $y$ a $x$.

[smemo89]

Ciao. Così ha detto il prof., però ci ha detto anche che questo cambia se il punto M lo prendiamo al di sotto del raggio o al di sopra. Io lo dovrei "prendere" al di sotto. Non so se mi sono spiegato. Tu come lo hai considerato?

[G.D.5]

Sopra il raggio.

[smemo89]

Scusami, visto che io lo devo "prendere" al di sotto del raggio, qualle che hai detto prima vale lo stesso oppure no? Scusami se sto approfittando della tua pazienza, ma è perchè voglio capire bene quello che devo fare.

[G.D.5]

Non cambia molto. Per risolvere la questione basta introdurre un sistema di riferimento solidale con la circonferenza: il sistema di riferimento deve avere l'asse delle ascisse coincidente con $AB$ e l'origine coincidente con $O$.
A questo punto la circonferenza intersecherà l'asse vericale del sistema di riferimento introdotto nel modo predetto in due punti: $(0;1)$ e $(0;-1)$.
Ora, immagina di tracciare le tangenti alla ciconferenza passanti per $(0;1)$ e $(0;-1)$: la cinconferenza si viene così a trovare in una striscia di piano, quest'ultima chiusa tra le rette $y=1$ e $y=-1$.
A questo punto se il punto $M$ è preso all'interno della striscia si ottiene la tua equazione, se $M$ non appartiene alla striscia si ottiene la mia.
Il procedimento dovrebbe essere lo stesso, co sono solo delle considerazioni da fare sul segno della coordinata ascissa del punto di intersezione della seconda tangente, condotta per $M$, con il prolungamento di $AB$.

[smemo89]

Provando a svolgerlo: Ho posto: AC=Y ; OC=Y+1 e OT=1. Poi ho cercato di applicare il teorema di Pitagora al triangolo OTC per calolarmi TC. E ho fatto: $TC^2=CO^2+OT^2$ , andando a sostituire mi viene: $TC^2=Y^2+2Y+2$ . A questo punto andando a sovolgere l'equazione "in" y ho dei problemi perchè mi viene un numero negativo e per quasto penso di avre sbagliato in qualche passaggio. Aspetto una vostra risposta. Grazie.

[G.D.5]

Non riesco a capire dove esce il numero negativo.

Puoi fare così: se il punto $M$ appartiene alla striscia allora $0

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[smemo89]

Scusa, ora ho superato quel "passaggio" e ora se ho "fatto" bene mi viene $2y=2x^2+2x+2sqrt(x^2+y^2)$ , divido tutto per 2 e : $y=x^2+x+sqrt(x^2+y^2)$ . Ora però ho un problema per la radice quadrata, ho cercato di elevare tutto al quadrato per "eliminarala" ma comunque poi non riesco a risolvere "l'equazione". Se fino a questo punto è tutto esatto, vorrei dei "chiarimenti" su come risolverla. Grazie & Ciao.

[G.D.5]

Se ho ben capito, sei arrivato/a a dover risolvere questa equazione:

$(y+1)^2 = 1^2 + (x + \sqrt{x^2 + y^2})^2$

Bene:

$(y+1)^2 = 1^2 + (x + \sqrt{x^2 + y^2})^2$

$y^2 + 2y + 1 = 1 + x^2 + 2x\sqrt{x^2 + y^2} + x^2 + y^2$

$2y = 2x^2 + 2x\sqrt{x^2 + y^2}$

$y = x^2 + x\sqrt{x^2 + y^2}$

$y - x^2 = x\sqrt{x^2 + y^2}$

$(y - x^2) = (x\sqrt{x^2 + y^2})^2$

$y^2 - 2yx^2 + x^4 = x^2 (x^2 + y^2) = x^4 + x^2y^2$

$y^2 - x^2y^2 + 2x^2y = 0$

$y[y(1-x^2) + 2x^2] = 0$

$y=0 \ \ vv \ \ y=\frac{2x^2}{1-x^2}$