Problema (31970)
In un piano di riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali sono assegnate le seguenti curve parametriche:
Y= KX3^+2X Y= X3^-KX
a) Dopo aver dimostrato che le curve sopra passano tutte per l'origine determina il numero delle loro intersezioni in funzione di K.
b) Studia e rappresenta graficamente le due funzioni che si ottengono per K=-1 e poi determina l'area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.
Per favore aiutatemi sono disperato e ho la maturità....
Manus
Y= KX3^+2X Y= X3^-KX
a) Dopo aver dimostrato che le curve sopra passano tutte per l'origine determina il numero delle loro intersezioni in funzione di K.
b) Studia e rappresenta graficamente le due funzioni che si ottengono per K=-1 e poi determina l'area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.
Per favore aiutatemi sono disperato e ho la maturità....
Manus
Risposte
Scusami, le curve sono
[math]y=kx^3+2x \ e \ y=x^3-kx[/math]
?
si, avevo un'idea quella di fare il sistema misto ma non ho le idee ben chiare...
Punto numero 1:
"Le curve passano entrambe per l'origine". Condizione necessaria e sufficiente è che le coordinate dell'origine O(0,0) soddisfino entrambe le curve:
E questo l'abbiamo dimostrato.
Ora, giustamente, come proponi tu, intersechiamo le due curve (ovvero mettiamo a sistema).
Risolviamo il sistema (trattando, ovviamente, k come fosse un numero!) e troviamo dei valori di x in funzione di k.
Prova a fare il sistema e postami la soluzione. Così la discutiamo insieme!
"Le curve passano entrambe per l'origine". Condizione necessaria e sufficiente è che le coordinate dell'origine O(0,0) soddisfino entrambe le curve:
[math]0=k \cdot 0^3+2 \cdot0[/math]
[math]0=0^3-k \cdot 0[/math]
E questo l'abbiamo dimostrato.
Ora, giustamente, come proponi tu, intersechiamo le due curve (ovvero mettiamo a sistema).
Risolviamo il sistema (trattando, ovviamente, k come fosse un numero!) e troviamo dei valori di x in funzione di k.
Prova a fare il sistema e postami la soluzione. Così la discutiamo insieme!
Il fatto è che non ho mai risolto un sistema con delle curve di terzo grado...
Ma la soluzione è analoga ai sistemi di grado inferiore!
Per confronto avremo
Adesso si tratta di risolvere un'equazione di terzo grado..
Ti do l'input
Ora discuti le soluzioni
Per
Dove il radicando è negativo: nessun'altra soluzione
Dove il radicando è positivo: 2 soluzioni
[math] \{ y=kx^3+2x \\ y=x^3-kx[/math]
Per confronto avremo
[math]kx^3+2x=x^3-kx[/math]
Adesso si tratta di risolvere un'equazione di terzo grado..
Ti do l'input
[math]kx^3+2x-x^3+kx=0[/math]
[math](k-1)x^3+(2+k)x=0[/math]
[math]x((k-1)x^2+2+k)=0[/math]
[math]x=0[/math]
e lo sapevamo già[math](k-1)x^2+2+k=0 [/math]
[math](k-1)x^2=-(2+k)[/math]
[math]x^2= -\frac{2+k}{k-1}[/math]
[math]x^2= \frac{2+k}{1-k}[/math]
[math]x= \pm \sqrt{ \frac{2+k}{1-k}}[/math]
Ora discuti le soluzioni
Per
[math]k=1[/math]
non accettabile (a parte x=0).Dove il radicando è negativo: nessun'altra soluzione
Dove il radicando è positivo: 2 soluzioni
potreste continuare con il punto b)??
devi creare una nuova domanda, questa non e' tua.
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