Problema (10935)

[indovina]

l'immagine della circonferenza di equazione x^2+y^2-6x in un'omotetia è

la circonferenza

x^2+y^2-9x+6y+27=0

determinare centro e rapporto dell'omotetia


potete dirmi il ragionamento di come devo partire?

[plum]

l'omotetia è del tipo
x'=ax+h
y'=ay+k

e sostituendo questi valori nella seconda circonferenza si ottiene

[math]x'^2+y'^2-9x'+6y'+27=0\\\\

(ax+h)^2+(ay+k)^2-9(ax+h)+6(ay+k)+27=0\\\\

a^2x^2+2ahx+h^2+a^2y^2+2aky+k^2-9ax-9h+6ay+6k+27=0\\\\\frac{a^2x^2+2ahx+h^2+a^2y^2+2aky+k^2-9ax-9h+6ay+6k+27}{a^2}=0\\\\x^2+y^2+\frac {2h-9}ax+\frac{2k+6}ay+h^2+k^2-9h+6k+27=0[/math]

la prima circonferenza ha a=-6 b=0 e c=0, quindi poni

[math]\frac {2h-9}a=-6\;--->\;a=\frac{9-2h}6[/math]

[math]\frac{2k+6}a=0\;--->\;2k+6=0\;--->\;k=-3[/math]

[math]h^2+k^2-9h+6k+27=0\;--->\;h^2+9-9h-18+27=0\;--->\\h_1=3\;\;h_2=6[/math]

da cui

[math]a_1=\frac{9-6}6=\frac12[/math]

e

[math]a_2=\frac{9-12}6=-\frac12[/math]