Probelma di trigonometria

[sara89**11]

ciao a tutti...vi vorrei proporre questo problema

considera una semicirconferenza con centro O,raggio r e diametro AB. considera inoltre il punto C preso sul prolingamento da AB dalla parte da A e tale che CA=r.
sia inoltre H il punto di intersezione fra la semicirconferenza e la perpendicolare ad AB passante per O. Determina sull arco HB un punto P in modo tale che sia

PC^2 =(7*rad.quad(3)/3)*PA*PB

ho come suggerimento di porre PAB=x e poi usare il teorema del coseno x determinate PC^2.

questo problema puù essere considerato difficile, intermedio o facile?
grazie!!

[MaMo2]

Il triangolo APB è rettangolo quindi si ha:

$AP=2rcosx$ e $BP=2rsenx$

Applicando il teorema del coseno al triangolo CAP si ottiene:

$PC^2=r^2+4r^2cos^2x-4r^2cosx*cos(pi-x)$

Cioè:

$PC^2=r^2(1+8cos^2x)$

L'uguaglianza del problema diventa dunque:

$1+8cos^2x=(28/3)sqrt3cosx*senx$

Risolvendo questa equazione omogenea si trova x = $pi/6$.

Giudizio: facile.

[IlaCrazy]

$PC^2 =(7*sqrt(3)/3)*PA*PB$

Limitazioni:
- P=H se l'angolo fosse $pi/2$
$PC^2= sqrt(2r^2+r^2)$ e $PA=r$ e $PB=r$
$3r^2=r*r*(7*sqrt(3)/3)$ il che è falso quindi nella limitazione non c'è l'uguale.
-P=B se l'angolo diventa $0$
$PC^2=9r^2$ e PA=2r e PB=0
anche in questo caso l'uguaglianza non è verificata quindi la limitazione dell'angolo x risulta essere:
$pi/2

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