Principio d'induzione
Ciao...
questa volta ho una difficoltà con il pricipio d'induzione: ho capito benissimo come si applica nelle varie dimostrazioni, ma in questo caso non so proprio come iniziare....
Dimostrare che $4^n+15*n-1$ è multiplo di 9 qualunque $n>=1$
GRAZIE
questa volta ho una difficoltà con il pricipio d'induzione: ho capito benissimo come si applica nelle varie dimostrazioni, ma in questo caso non so proprio come iniziare....
Dimostrare che $4^n+15*n-1$ è multiplo di 9 qualunque $n>=1$
GRAZIE
Risposte
Non sai come iniziare o ti blocchi ad un certo punto? Dimmi quale punto che ti aiuto! 
Ciao a te, GoldWings 
Ho dato una veloce occhiata al forum e così ho
visto il tuo messaggio.
Questo tipo di problemi, naturalmente, può essere
risolto in vari modi anche attraverso il principio
d'induzione.
Ti scrivo di seguito l'idea che mi è venuta in mente
appena ti ho letto.
Ho considerato la differenza fra due numeri consecutivi
di quella forma e ho visto che la differenza è senz'altro
divisibile per 9.
La differenza è questa: 3·(4ª+5) = 3·[(3+1)ª+(3+2)],
dove a corrisponde al tuo n (non posso usare il programma
delle formule e perciò devo adattarmi...).
Torniamo alla formula proposta.
Quando la variabile è uguale a 1, il valore che ottieni è
18 e quindi è un multiplo di 9.
Ammesso che anche tutti i successivi numeri fino a
4ª+15a-1 siano divisibili per 9, se sommi a quest'ultimo
la precedente differenza ottieni...
Devo correre, ma spero che tu mi abbia capito lo stesso
Edit:
Rendo invisibile il messaggio per non condizionare l'intervento
di Laura (che ho visto solo adesso: sorry!) o di altri utenti.
Ho dato una veloce occhiata al forum e così ho
visto il tuo messaggio.
Questo tipo di problemi, naturalmente, può essere
risolto in vari modi anche attraverso il principio
d'induzione.
Ti scrivo di seguito l'idea che mi è venuta in mente
appena ti ho letto.
Ho considerato la differenza fra due numeri consecutivi
di quella forma e ho visto che la differenza è senz'altro
divisibile per 9.
La differenza è questa: 3·(4ª+5) = 3·[(3+1)ª+(3+2)],
dove a corrisponde al tuo n (non posso usare il programma
delle formule e perciò devo adattarmi...).
Torniamo alla formula proposta.
Quando la variabile è uguale a 1, il valore che ottieni è
18 e quindi è un multiplo di 9.
Ammesso che anche tutti i successivi numeri fino a
4ª+15a-1 siano divisibili per 9, se sommi a quest'ultimo
la precedente differenza ottieni...
Devo correre, ma spero che tu mi abbia capito lo stesso
Edit:
Rendo invisibile il messaggio per non condizionare l'intervento
di Laura (che ho visto solo adesso: sorry!) o di altri utenti.
Non è una dimostrazione elegantissima, se ne avete di migliori proponetele.
Per induzione su $n$. Verifichiamo che per $n = 1$ si ha $4+15-1 = 18$ che è divisible per 9.
Supponiamo quindi che $4^n + 15n - 1$ sia divisibile per 9 per un certo $n$.
Con alcuni passaggi si ottiene $4^(n+1)+15(n+1)-1 = 4*4^n + 15n + 14 = (4^n + 15n - 1) + 3 (4^n + 5)$.
Poichè per ipotesi induttiva $4^n + 15n - 1$ è divisibile per 9 basta verificare che lo sia anche $3 (4^n + 5)$.
Anche questo si verifica facilmente per induzione. Al solito lo verifichiamo per $n=1$ e lo supponiamo vero per un certo $n$.
Quindi in maniera simile a prima otteniamo $3(4^(n+1)+5)=3(4*4^n+5)=9*4^n+3*4^n+15=9*4^n+3(4^n+5)$.
Poichè chiaramente $9*4^n$ è divisibile per 9 si ha la conclusione.
Per induzione su $n$. Verifichiamo che per $n = 1$ si ha $4+15-1 = 18$ che è divisible per 9.
Supponiamo quindi che $4^n + 15n - 1$ sia divisibile per 9 per un certo $n$.
Con alcuni passaggi si ottiene $4^(n+1)+15(n+1)-1 = 4*4^n + 15n + 14 = (4^n + 15n - 1) + 3 (4^n + 5)$.
Poichè per ipotesi induttiva $4^n + 15n - 1$ è divisibile per 9 basta verificare che lo sia anche $3 (4^n + 5)$.
Anche questo si verifica facilmente per induzione. Al solito lo verifichiamo per $n=1$ e lo supponiamo vero per un certo $n$.
Quindi in maniera simile a prima otteniamo $3(4^(n+1)+5)=3(4*4^n+5)=9*4^n+3*4^n+15=9*4^n+3(4^n+5)$.
Poichè chiaramente $9*4^n$ è divisibile per 9 si ha la conclusione.
Io ho iniziato a verificare che per n=1 la proprietà è vera.
Per cui posso dire $4^n+15*n-1=9*h$ (1)
Successivamente sostituisco al posto di n il valore n+1 e provo a pacioccare
cercando di ottenere qualcosa di simile alla (1)....
Inutile dire che non ne ho cavato nienete...
Per cui posso dire $4^n+15*n-1=9*h$ (1)
Successivamente sostituisco al posto di n il valore n+1 e provo a pacioccare
cercando di ottenere qualcosa di simile alla (1)....Inutile dire che non ne ho cavato nienete...
Lungi dal voler produrre qualcosa di elegantissimo, caro Eredir
Era solo un'idea, seppur imbastita in fretta.
Attendo con te altre proposte
Era solo un'idea, seppur imbastita in fretta.
Attendo con te altre proposte
Si puo' evitare la doppia induzione scrivendo cosi':
$4^(n+1)+15n+14=4(4^n+15n-1)-9(5n-2)$
karl
$4^(n+1)+15n+14=4(4^n+15n-1)-9(5n-2)$
karl
Bella osservazione! Grande Karl
Grazie per il suggerimento karl. 
"Bruno":
Rendo invisibile il messaggio per non condizionare l'intervento
di Laura (che ho visto solo adesso: sorry!) o di altri utenti.
La mia soluzione era simile a quella di Eredir, ma aspettavo a postarla perchè, come più volte è stato detto, a chi ci chiede aiuto non va data immediatamente la risposta completa. Per quello c'è una sezione apposta ed è quella dei "giochi logico-matematici e gara".
Complimenti Karl!
D'accordissimo con te, Laura
Ho scritto di getto da una biblioteca (non ho il
pc a casa), seppure animato da un buon intento,
e subito dopo averti letto avrei voluto cancellare
del tutto i miei quattro gingilli...
Vabbe', la prossima volta lo farò (a costo
di lasciare un post bianco se non posso eliminarlo
per successivi interventi).
Ti ringrazio, intanto, per avermi (-ci) ribadito
questo principio.
Ho scritto di getto da una biblioteca (non ho il
pc a casa), seppure animato da un buon intento,
e subito dopo averti letto avrei voluto cancellare
del tutto i miei quattro gingilli...
Vabbe', la prossima volta lo farò
(a costodi lasciare un post bianco se non posso eliminarlo
per successivi interventi).
Ti ringrazio, intanto, per avermi (-ci) ribadito
questo principio.
"laura.todisco":
La mia soluzione era simile a quella di Eredir, ma aspettavo a postarla perchè, come più volte è stato detto, a chi ci chiede aiuto non va data immediatamente la risposta completa. Per quello c'è una sezione apposta ed è quella dei "giochi logico-matematici e gara".
Complimenti Karl!
Chiedo scusa a GoldWings, la prossima volta attenderò.
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