Principio di induzione
Siccome in questi giorni si parla molto di dimostrazioni con il principio di induzione ho cercato di capirlo e ho provato a dimostrare questa disuguaglianza presa dal cap. 1 del mio libro.
Ditemi per favore se il metodo che ho applicato ha senso.
Ditemi per favore se il metodo che ho applicato ha senso.
Risposte
Ciao Omonimo,
il passo base e' corretto, e il passo induttivo contiene solo un errore! Magari e' un errore di battitura....
PASSO INDUTTIVO
(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a
Questo risultato deve quindi essere dimostrato a partire dal fatto che
(1+a)^n>=1+na
che si suppone vero!
In pratica il discorso e' questo:
Passo 1
Verifico "a mano" che la tesi sia vera per il piu' piccolo valore possibile di n (in questo caso 0)
Passo 2
Suppongo la tesi vera per i primi n numeri naturali e cerco di concludere che allora deve essere vera anche per l'n+1-esmo.
Una volta dimostrato questo (Passo induttivo, la tesi e' dimostrata per tutti i numeri, infatti per 0 e' vera, ma llora e' vera anche per 0+1=1 e per 1+1=2 2 per 2+1=3....
chiaro?
Spero tanto di si!
Ciao,
Giuseppe
il passo base e' corretto, e il passo induttivo contiene solo un errore! Magari e' un errore di battitura....
PASSO INDUTTIVO
(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a
Questo risultato deve quindi essere dimostrato a partire dal fatto che
(1+a)^n>=1+na
che si suppone vero!
In pratica il discorso e' questo:
Passo 1
Verifico "a mano" che la tesi sia vera per il piu' piccolo valore possibile di n (in questo caso 0)
Passo 2
Suppongo la tesi vera per i primi n numeri naturali e cerco di concludere che allora deve essere vera anche per l'n+1-esmo.
Una volta dimostrato questo (Passo induttivo, la tesi e' dimostrata per tutti i numeri, infatti per 0 e' vera, ma llora e' vera anche per 0+1=1 e per 1+1=2 2 per 2+1=3....
chiaro?
Spero tanto di si!
Ciao,
Giuseppe
Omonimo sei stato chiarissimo!
Solo che non ho capito bene una cosa:
quando scrivo nel passo induttivo (1+a)^(n+1)>1+(n+1)a come faccio a dimostrarla a partire da (1+a)^n>1+na supposta vera??
Solo che non ho capito bene una cosa:
quando scrivo nel passo induttivo (1+a)^(n+1)>1+(n+1)a come faccio a dimostrarla a partire da (1+a)^n>1+na supposta vera??
Giusepperoma, ma non si parte da n = 1, invece che da n = 0 ?
No perche bisogna dimostrarlo per ogni n appartenente ad N, ed il minimo di questo in sieme e' 0.
Platone
Platone
C'è chi definisce N come l'insieme costituito da 0 e dagli interi positivi
(come il ricercatore che mi ha tenuto i precorsi il primo giorno), e chi, come
il mio prof. di Calcolo I, che ha definito N come l'insieme costituito
dagli interi maggiori di 1...
(come il ricercatore che mi ha tenuto i precorsi il primo giorno), e chi, come
il mio prof. di Calcolo I, che ha definito N come l'insieme costituito
dagli interi maggiori di 1...
Io so che N comprende tutti i numeri naturale compreso lo zero, N(0) invece indica i naturali escluso lo zero.
Nessun professore, da me a Matematica, ha mai usato il simbolo N(0) che anche io ho visto scritto nei libri di scuola...
Comunque, qualcuno sa dirmi come faccio a dimostrare che, supposta vera (1+a)^n>1+na si ha (1+a)^(n+1)>1+(n+1)a?
grazie.
grazie.
Vuoi dimostrare la disuguaglianza di Bernoulli per induzione...
L'ho appena fatta... Dunque, per n = 1 è banalmente vera.
Supponiamo sia vera per un certo numero naturale n ;
se riusciamo a dimostrare che è vera anche per n + 1, è vera
anche per tutti gli n naturali.
Moltiplichiamo ambo i membri della disuguaglianza per 1 + a,
che è positivo, dato che per ipotesi si suppone a > -1.
Otteniamo: (1 + a)^(n + 1) >= (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2
che è maggiore o uguale di: 1 + na + a = 1 + (n + 1)a , perciò
ecco dimostrata la diseguaglianza di Bernoulli.
L'ho appena fatta... Dunque, per n = 1 è banalmente vera.
Supponiamo sia vera per un certo numero naturale n ;
se riusciamo a dimostrare che è vera anche per n + 1, è vera
anche per tutti gli n naturali.
Moltiplichiamo ambo i membri della disuguaglianza per 1 + a,
che è positivo, dato che per ipotesi si suppone a > -1.
Otteniamo: (1 + a)^(n + 1) >= (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na^2
che è maggiore o uguale di: 1 + na + a = 1 + (n + 1)a , perciò
ecco dimostrata la diseguaglianza di Bernoulli.
rieccomi
Non rispondo al mio omonimo perche' ha provveduto fireball, ma rispondo invece a tutti gli altri...
E' una questione di opinioni, per una volta (eh eh). Se vi interessa vi posso dare le mie motivazioni per cui amo considerare 0 nuturale! ( comunque , ripeto, e corretto anche dire che 0 non e' naturale, ci sono due correnti di pensiero!!! e si tratta solo di una def...)
motivo 1
i naturali sono quelli che naturalmente usiamo per contare.
bhe' se vi chiedo quante cattedre ci sono in una classe rispondete 1
se vi chiedo quanti banchi rispnderete 20 o giu' di li'
ma se vi chiedo quanti elefanti, non mi rispondereste, dopo un rapido conto, 0!?
MOTIVO 2
Come tutti sapete dobbiamo a Peano la formalizzazione e l'assiomatizzazione di N
ASSIOMA 1
0 appartiene a N
ciao ciao
Giuseppe
PS
avrete notato che nei libri di matematica si usa a volte il simbolo N con uno 0 al pedice, vero?
secondo alcuni autori, a seconda della corrente di appartenenza significa N+{0}, secondo altri N\{0} (che confusione!!)
Allora io mi chiedo perche' usiamo lo stesso simbolo con la R per intendere, senza possibilita' di equivoco R\{0}
che diamine, un po' di coerenza simbolica, non vi pare?
Non rispondo al mio omonimo perche' ha provveduto fireball, ma rispondo invece a tutti gli altri...
E' una questione di opinioni, per una volta (eh eh). Se vi interessa vi posso dare le mie motivazioni per cui amo considerare 0 nuturale! ( comunque , ripeto, e corretto anche dire che 0 non e' naturale, ci sono due correnti di pensiero!!! e si tratta solo di una def...)
motivo 1
i naturali sono quelli che naturalmente usiamo per contare.
bhe' se vi chiedo quante cattedre ci sono in una classe rispondete 1
se vi chiedo quanti banchi rispnderete 20 o giu' di li'
ma se vi chiedo quanti elefanti, non mi rispondereste, dopo un rapido conto, 0!?
MOTIVO 2
Come tutti sapete dobbiamo a Peano la formalizzazione e l'assiomatizzazione di N
ASSIOMA 1
0 appartiene a N
ciao ciao
Giuseppe
PS
avrete notato che nei libri di matematica si usa a volte il simbolo N con uno 0 al pedice, vero?
secondo alcuni autori, a seconda della corrente di appartenenza significa N+{0}, secondo altri N\{0} (che confusione!!)
Allora io mi chiedo perche' usiamo lo stesso simbolo con la R per intendere, senza possibilita' di equivoco R\{0}
che diamine, un po' di coerenza simbolica, non vi pare?
Ti ringrazio fireball.
Però allora io credo di aver fatto la stessa cosa. Infatti ho moltiplicato per 1+a e poi ho verificato la disuguaglianza
1+a(n+1)+na^2>=1+(n+1)a fosse vera.
Forse non si capisce da come l'ho impostato.
Grazie ancora.
Però allora io credo di aver fatto la stessa cosa. Infatti ho moltiplicato per 1+a e poi ho verificato la disuguaglianza
1+a(n+1)+na^2>=1+(n+1)a fosse vera.
Forse non si capisce da come l'ho impostato.
Grazie ancora.
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