Potenze con esponente reale
Buonasera a tutti. Non capisco, nell'ambito delle potenze con esponente reale, come mai $a>=0$ e non $a<0$. Allego foto del libro di testo dove ciò viene detto. Grazie per l'aiuto!
Risposte
Al di là di come si definisce una potenza ad esponente reale di un numero reale (si può fare in vari modi equivalenti), per quali valori di [tex]a[/tex] è definita la potenza
per un qualunque [tex]q\in\mathbb{Q},\,q>0[/tex]?
[tex]a^q[/tex]
per un qualunque [tex]q\in\mathbb{Q},\,q>0[/tex]?
Per $a>=0$, altrimenti, per esempio per $-2^(1/2)$, si otterrebbe radice di -2. Giusto? Se è così, forse ho anche la risposta alla domanda iniziale...
Solo che scritto così
Si legge $-sqrt2$, avresti dovuto scrivere $(-2)^(1/2)$. Per il resto il tuo discorso fila.
"Ema2003":
$-2^(1/2)$.
Si legge $-sqrt2$, avresti dovuto scrivere $(-2)^(1/2)$. Per il resto il tuo discorso fila.
Certo! Se provi a ripetere il discorso euristico di Sasso sulle approssimazioni per eccesso/difetto di [tex]2^\sqrt{3}[/tex], sostituendo ai troncamenti per eccesso/difetto di [tex]\sqrt3[/tex] le rispettive frazioni, ti rendi conto che ti serve che [tex]a^q[/tex] sia definito per qualunque [tex]q\in\mathbb{Q}_{>0}[/tex], altrimenti rischi di "uscire" dai numeri reali.
Questo non significa che in generale non si possa dare un significato ad una espressione del tipo [tex](-2)^{\sqrt2}[/tex], ma che probabilmente l'oggetto che otterresti non sarebbe quello che "vorresti"; ad esempio, secondo una possibile definizione
Questo non significa che in generale non si possa dare un significato ad una espressione del tipo [tex](-2)^{\sqrt2}[/tex], ma che probabilmente l'oggetto che otterresti non sarebbe quello che "vorresti"; ad esempio, secondo una possibile definizione
[tex](-2)^{\sqrt2}=2^{\sqrt2}\big(\cos(\pi\sqrt2)+\mathtt{i}\sin(\pi\sqrt2)\big).[/tex]
Ciao, vi ringrazio per le risposte; tuttavia, non so se sia perché ho perso l'intuizione di stamattina e/o poiché giungo da tutt'altra disciplina, ma non riesco a giustificarmi il passaggio da quel che ho scritto prima a ciò che riporta il Sasso. Come mai si rischia di "uscire" dai numeri reali?
Prova a ripetere i punti 1. e 2. del discorso del tuo libro per [tex](-2)^{\sqrt2}[/tex]; le potenze ad esponente razionale
dove [tex]\frac{m}{n}[/tex] è un'approssimazione per eccesso/difetto di [tex]\sqrt2\approx 1.414213562[/tex] sono tutti radicali ben definiti in [tex]\mathbb{R}[/tex]?
[tex](-2)^{\frac{m}{n}}[/tex]
dove [tex]\frac{m}{n}[/tex] è un'approssimazione per eccesso/difetto di [tex]\sqrt2\approx 1.414213562[/tex] sono tutti radicali ben definiti in [tex]\mathbb{R}[/tex]?
Onestamente, non saprei. Più che altro, credo di essermi perso qualche proprietà sull'insieme R...
Se tu provassi a definire
per un qualunque [tex]a\in\mathbb{R}[/tex], incorreresti in vari problemi, primo fra tutti il fatto che
è solo definito per [tex]a\geq0[/tex] (quella che si chiama condizione di esistenza o condizione di realtà del radicale). Pertanto non riusciresti a costruirti i due insieme di numeri reali di cui parla Sasso e ad usare la proprietà di completezza di [tex]\mathbb{R}[/tex] per definire la potenza ad esponente reale. Quindi affinché la costruzione funzioni deve essere [tex]a\geq0[/tex].
Se il discorso di Sasso non ti convince, pensa semplicemente che vuoi estendere la definizione che hai già per gli esponenti razionali positivi, la quale è valida solo per [tex]a\geq0[/tex].
[ot]Per curiosità, stai studiando da autodidatta o sei uno studente delle superiori? Nel secondo caso, quale indirizzo? Come hai fatto a passare nel giro di 24 ore dalla definizione di funzione alle potenze ad esponente reale?
[/ot]
[tex]a^{m/n}:=\Big(\sqrt[n]{a}\Big)^m,\quad m,n\in\mathbb{Z}_{>0},\operatorname{M.C.D}(m,n)=1[/tex]
per un qualunque [tex]a\in\mathbb{R}[/tex], incorreresti in vari problemi, primo fra tutti il fatto che
[tex]\sqrt[n]{a},\quad n\text{ pari}[/tex]
è solo definito per [tex]a\geq0[/tex] (quella che si chiama condizione di esistenza o condizione di realtà del radicale). Pertanto non riusciresti a costruirti i due insieme di numeri reali di cui parla Sasso e ad usare la proprietà di completezza di [tex]\mathbb{R}[/tex] per definire la potenza ad esponente reale. Quindi affinché la costruzione funzioni deve essere [tex]a\geq0[/tex].
Se il discorso di Sasso non ti convince, pensa semplicemente che vuoi estendere la definizione che hai già per gli esponenti razionali positivi, la quale è valida solo per [tex]a\geq0[/tex].
[ot]Per curiosità, stai studiando da autodidatta o sei uno studente delle superiori? Nel secondo caso, quale indirizzo? Come hai fatto a passare nel giro di 24 ore dalla definizione di funzione alle potenze ad esponente reale?
[/ot]
[ot]Credo che sia uno studente di quinta liceo linguistico. Starà facendo un ripasso prima di affrontare le funzioni.[/ot]
Ora forse ho capito! Per esempio, se approssimassi per difetto $sqrt 2$ a $1,7$, ed elevassi $(-2)$ alla $17/10$, avrei radice pari di numero negativo. Giusto? Se è così, ci siamo.
Comunque, sono in quinta liceo linguistico, ma l'anno prossimo ho deciso di studiare economia e finanza; si capisce, dunque, perché mi sto dedicando in questa misura alla matematica. Tra l'altro, nella nostra classe la prof è stata costretta, sin dalla seconda praticamente, ad abbassare in maniera consistente il livello affinché non ci fossero 20 insufficienze su 26; pertanto, sebbene abbia sempre reso abbastanza bene in questa materia, sono costretto a rivedere e a studiare ex novo molti argomenti. Tuttavia, questo ritmo è praticamente insostenibile: in realtà, oltre ai due argomenti che hai menzionato, sto anche ristudiando la parabola. Credo che il mio stress si possa arguire dalla mia sintassi non sempre eccelsa
Ad ogni modo, caro 413, ti ringrazio infinitamente per il tempo che stai spendendo per me, nonostante nulla ti costringa a farlo. Se solo tutti fossimo anche solo un po' così, il mondo sarebbe veramente un posto migliore, fuor di retorica. Buon pomeriggio e grazie di nuovo!
Comunque, sono in quinta liceo linguistico, ma l'anno prossimo ho deciso di studiare economia e finanza; si capisce, dunque, perché mi sto dedicando in questa misura alla matematica. Tra l'altro, nella nostra classe la prof è stata costretta, sin dalla seconda praticamente, ad abbassare in maniera consistente il livello affinché non ci fossero 20 insufficienze su 26; pertanto, sebbene abbia sempre reso abbastanza bene in questa materia, sono costretto a rivedere e a studiare ex novo molti argomenti. Tuttavia, questo ritmo è praticamente insostenibile: in realtà, oltre ai due argomenti che hai menzionato, sto anche ristudiando la parabola. Credo che il mio stress si possa arguire dalla mia sintassi non sempre eccelsa
Ad ogni modo, caro 413, ti ringrazio infinitamente per il tempo che stai spendendo per me, nonostante nulla ti costringa a farlo. Se solo tutti fossimo anche solo un po' così, il mondo sarebbe veramente un posto migliore, fuor di retorica. Buon pomeriggio e grazie di nuovo!
P.S. Se mi ritrovo a chiedere delucidazioni su cose del genere, è perché appunto la prof si limita, molto spesso, semplicemente a darci le nozioni così, come auctoritas; cose cioè che vanno accettate. Siccome però vorrei anzitutto far camminare la testa, e secondariamente non scordarmi domani queste nozioni, voglio comprenderle in profondità. Con questo post scriptum spero di evitare critiche infondate...
"Ema2003":
Ora forse ho capito! Per esempio, se approssimassi [strike]per difetto[/strike] $sqrt 2$ a $1,7$, ed elevassi $(-2)$ alla $17/10$, avrei radice pari di numero negativo. Giusto? Se è così, ci siamo.
Per eccesso. Comunque sì, i due insiemi che costruisce Sasso devono essere sottoinsiemi dei reali, non vuoti.
Ricorda anche che, per non andare incontro a complicazioni eccessive, si definisce
[tex]a^{m/n}:=\big(\sqrt[n]{a}\big)^m,\quad m,n\in\mathbb{Z},m>0,n>1[/tex]
solo per [tex]a\in\mathbb{R}_{\geq0}[/tex], in modo da evitare di distinguere i casi in cui il denominatore dell'esponente è pari/dispari e da utilizzare le proprietà delle potenze in maniera indolore (ricorda che la "proprietà invariantiva" dei radicali si complica quando il radicando può avere segno qualunque, purché il radicale sia definito in [tex]\mathbb{R}[/tex]).
Quello che sto cercando di dire è: chiusa la discussione, il simbolo [tex](-2)^{17/10}[/tex] non scriverlo più, perché non è definito, anche quando il denominatore è dispari (anche se la calcolatrice lo accetta); e.g. [tex](-2)^{5/3}[/tex] non si può scrivere anche se [tex]\sqrt[3]{(-2)^5}[/tex] (questo invece si può scrivere) è un numero reale. Era giusto per capirsi sul "cosa potrebbe andare storto, se fosse..."
"Ema2003":
Comunque, sono in quinta liceo linguistico, ma l'anno prossimo ho deciso di studiare economia e finanza; si capisce, dunque, perché mi sto dedicando in questa misura alla matematica. Tra l'altro, nella nostra classe la prof è stata costretta, sin dalla seconda praticamente, ad abbassare in maniera consistente il livello affinché non ci fossero 20 insufficienze su 26; pertanto, sebbene abbia sempre reso abbastanza bene in questa materia, sono costretto a rivedere e a studiare ex novo molti argomenti. Tuttavia, questo ritmo è praticamente insostenibile: in realtà, oltre ai due argomenti che hai menzionato, sto anche ristudiando la parabola. Credo che il mio stress si possa arguire dalla mia sintassi non sempre eccelsa
Ad ogni modo, caro 413, ti ringrazio infinitamente per il tempo che stai spendendo per me, nonostante nulla ti costringa a farlo. Se solo tutti fossimo anche solo un po' così, il mondo sarebbe veramente un posto migliore, fuor di retorica. Buon pomeriggio e grazie di nuovo!
Ok, ok. Non riuscivo a capire perché usassi Nuova Matematica a Colori, che è tre edizioni indietro, mi pare, rispetto al Sasso dei giorni nostri (al libro che hai tu si sono succedute LA Nuova Matematica a Colori, Colori della Matematica 1a ed., Colori della Matematica 2a ed.) e come mai il tuo docente saltasse da un argomento di prima a uno di terza/quarta, tutto qui
Piccola annotazione mia: sebbene sia prassi comune ritenere del tutto "equivalenti" le scritture [size=150]$root(n)(a^m)=a^(m/n)$[/size], io ritengo (e non sono il solo) che il simbolo di radice $sqrt()$ vada usato solo con indici naturali.
Meno confusione e ambiguità
Cordialmente, Alex
Meno confusione e ambiguità
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Piccola annotazione mia: sebbene sia prassi comune ritenere del tutto "equivalenti" le scritture [size=150]$root(n)(a^m)=a^(m/n)$[/size], io ritengo (e non sono il solo) che il simbolo di radice $sqrt()$ vada usato solo con indici naturali.
Meno confusione e ambiguità
Cordialmente, Alex
Non ho capito. Fammi un esempio.
Al posto di $n$ qualsiasi cosa
Se n'è parlato varie volte nel Forum ovvero cose cosi [size=200]$root(pi)(a)$[/size] non si possono vedere IMHO; in tali casi è sempre meglio scrivere [size=150]$a^(1/(pi))$[/size] e ovviamente $a>0$ (o $a>=0$ ?
... a tal proposito ci fu una discussione "vivace" tra me e orsoulx ma non mi ricordo più da che parte stavo )
Io (ma non solo io) preferisco riservare il simbolo di radice a queste $sqrt(2), root(3)(-27), root(6)(247), ...$ ecc.)
Cordialmente, Alex
Se n'è parlato varie volte nel Forum ovvero cose cosi [size=200]$root(pi)(a)$[/size] non si possono vedere IMHO; in tali casi è sempre meglio scrivere [size=150]$a^(1/(pi))$[/size] e ovviamente $a>0$ (o $a>=0$ ?
... a tal proposito ci fu una discussione "vivace" tra me e orsoulx ma non mi ricordo più da che parte stavo )Io (ma non solo io) preferisco riservare il simbolo di radice a queste $sqrt(2), root(3)(-27), root(6)(247), ...$ ecc.)
Cordialmente, Alex
Ok, ovviamente come tutto dipende dal contesto. La mia posizione è che il simbolo di radicale
sia definito solo per [tex]n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}[/tex] per [tex]a\geq0[/tex] se [tex]n[/tex] pari e per [tex]a[/tex] qualunque se [tex]n[/tex] dispari, perché questa è la definizione che si dà alle superiori (e non solo).
Tra l'altro, proprio per evitare questi disguidi, si usa il simbolo asimmetrico [tex]:=[/tex] per definire gli oggetti: la definizione che ho scritto va letta da sinistra a destra perché i [tex]:[/tex] sono a sinistra, non si può cambiare il verso a piacere la parte a destra è già stata definita in precedenza e non si tocca.
[tex]\sqrt[n]{a},\quad a\in\mathbb{R}[/tex]
sia definito solo per [tex]n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}[/tex] per [tex]a\geq0[/tex] se [tex]n[/tex] pari e per [tex]a[/tex] qualunque se [tex]n[/tex] dispari, perché questa è la definizione che si dà alle superiori (e non solo).
Tra l'altro, proprio per evitare questi disguidi, si usa il simbolo asimmetrico [tex]:=[/tex] per definire gli oggetti: la definizione che ho scritto va letta da sinistra a destra perché i [tex]:[/tex] sono a sinistra, non si può cambiare il verso a piacere
la parte a destra è già stata definita in precedenza e non si tocca.
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