Potenza di un complesso e potenza di potenza
Ciao!
la formula $(sqrta)^b=sqrt(a^b)$ è definita per $a<0$?
Lo chiedo perchè cominciando a studiare i complessi volevo calcolare $(-i)^10$, con la formula di De Moivre risulta $(-i)^10=-1$ ma poi ho pensato:
$(-i)^10=(-sqrt(-1))^10=(sqrt(-1))^10=((-1)^(1/2))^(10)=(-1)^5=-1$
da qui il dubbio poichè secondo la formula: $(sqrt(-1))^10=sqrt((-1)^10)$, ma $((-1)^(1/2))^(10)ne((-1)^(10))^(1/2)$
la formula $(sqrta)^b=sqrt(a^b)$ è definita per $a<0$?
Lo chiedo perchè cominciando a studiare i complessi volevo calcolare $(-i)^10$, con la formula di De Moivre risulta $(-i)^10=-1$ ma poi ho pensato:
$(-i)^10=(-sqrt(-1))^10=(sqrt(-1))^10=((-1)^(1/2))^(10)=(-1)^5=-1$
da qui il dubbio poichè secondo la formula: $(sqrt(-1))^10=sqrt((-1)^10)$, ma $((-1)^(1/2))^(10)ne((-1)^(10))^(1/2)$
Risposte
Perché complicarsi la vita?
Non pensare all'unità immaginaria come $i=sqrt(-1)$ ma invece come $i^2= -1$, è una definizione migliore (anzi forse è l'unica giusta fra le due
)
Cordialmente, Alex
Non pensare all'unità immaginaria come $i=sqrt(-1)$ ma invece come $i^2= -1$, è una definizione migliore (anzi forse è l'unica giusta fra le due
)Cordialmente, Alex
Concordo nel dire che $i^2=-1$ è l'unica formula giusta; da essa si ricava $i=+-sqrt(-1)$. La vera definizione dovrebbe essere "L'unità immaginaria $i$ è una delle radici quadrate di $-1$, quella arbitrariamente scelta come nostra unità". La $i=sqrt(-1)$ è solo un modo di semplificare i calcoli; il suo uso è giustificato dal fatto che il $+-$ compare da solo quando serve.
Questo però non risponde alla domanda di Stillife perché il $+-$ scompare nell'elevazione alla decima; direi che la risposta è che le proprietà delle potenze, ed in particolare la $(a^b)^c=a^(bc)$, sono veramente valide solo per $a>0$, anche se spesso valgono anche con basi negative.
Questo però non risponde alla domanda di Stillife perché il $+-$ scompare nell'elevazione alla decima; direi che la risposta è che le proprietà delle potenze, ed in particolare la $(a^b)^c=a^(bc)$, sono veramente valide solo per $a>0$, anche se spesso valgono anche con basi negative.
Sono del parere che, lavorando nei numeri complessi, non ha senso parlare di maggiore o minore. I complessi non sono ordinabili. Quando si parla di $a>0$ o di $a<0$ significa che si è nei reali, se si lavora nei complessi queste cose non hanno più senso.
"Stillife":Risposta: no.
La formula $(sqrta)^b=sqrt(a^b)$ è definita per $a<0$?
O meglio, non esiste nessuna funzione moltiplicativa $f:RR->CC$ tale che $x=f(x)^2$ per ogni $x in RR$.
(Moltiplicativa vuol dire che $f(ab)=f(a)f(b)$ per ogni $a,b in RR$).
Dimostrazione. Se per assurdo $f$ esistesse allora
$-1 =(f(-1))^2=f((-1)^2)=f(1)$
(Ho usato che $f$ è moltiplicativa). Ma abbiamo anche
$1 =(f(-1))^4=f((-1)^4)=f(1)$.
Quindi $f(1)$ è contemporaneamente uguale a $1$ e a $-1$. Contraddizione.
@ @melia
Hai tutte le ragioni nel dire che con i numeri complessi non si può parlare di maggiore o minore; però nel caso in questione i complessi sono stati solo lo spunto per una difficoltà che si riferisce ai reali e che ti mostro nel seguente esempio.
Sappiamo tutti che $(-a)^5=-a^5$ ma (sbagliando) possiamo anche fare i calcoli così:
$(-a)^5=(-a)^(10/2)=[(-a)^10]^(1/2)=(+a^10)^(1/2)=+a^5$
Noto che l'errore resta qualunque sia il segno di $a$ e quindi la mia risposta precedente va corretta. Forse non devono esserci problemi di segno.
Hai tutte le ragioni nel dire che con i numeri complessi non si può parlare di maggiore o minore; però nel caso in questione i complessi sono stati solo lo spunto per una difficoltà che si riferisce ai reali e che ti mostro nel seguente esempio.
Sappiamo tutti che $(-a)^5=-a^5$ ma (sbagliando) possiamo anche fare i calcoli così:
$(-a)^5=(-a)^(10/2)=[(-a)^10]^(1/2)=(+a^10)^(1/2)=+a^5$
Noto che l'errore resta qualunque sia il segno di $a$ e quindi la mia risposta precedente va corretta. Forse non devono esserci problemi di segno.
Veramente ero di corsa e non avevo letto le risposte. Solo che mi sembrava doveroso chiarire che nei complessi non si può parlare di disequazioni.
Ho ancora meditato sull'esempio del mio ultimo post e credo di aver capito come stanno le cose; se però sbagliassi, chiedo che persone più competenti di me correggano o rettifichino le mie affermazioni.
Con base negativa (cioè con $a>0$) il calcolo fatto è sbagliato fin dall'inizio perché un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi e quindi non a $10/2$ che è una frazione (frazione apparente ma pur sempre frazione).
Con base positiva (cioè con $a<0$) quel calcolo è lecito, ma l'ultimo passaggio va corretto in $=|a^5|$. Poiché $a^5$ è negativo, per averne il valore assoluto lo cambio di segno e proseguo con $=-a^5$, che è giusto.
Da quanto detto, traggo le seguenti conclusioni:
1) Le proprietà delle potenze sono state pensate per le basi positive e solo per queste hanno piena validità.
2) A condizione di usare solo esponenti interi, la validità può essere estesa anche a basi negative e forse addirittura complesse.
Può capitare che tutto vada bene anche con basi negative ed esponenti frazionari, ma anche in quel caso si tratta di una forzatura. Ad esempio, è vero che $root(3)((-2)^3)=-2$ ma, a stretto rigore, è falso che $[(-2)^3]^(1/3)=-2$ perché il negativo $-8$ non può essere elevato al frazionario $1/3$
Con base negativa (cioè con $a>0$) il calcolo fatto è sbagliato fin dall'inizio perché un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi e quindi non a $10/2$ che è una frazione (frazione apparente ma pur sempre frazione).
Con base positiva (cioè con $a<0$) quel calcolo è lecito, ma l'ultimo passaggio va corretto in $=|a^5|$. Poiché $a^5$ è negativo, per averne il valore assoluto lo cambio di segno e proseguo con $=-a^5$, che è giusto.
Da quanto detto, traggo le seguenti conclusioni:
1) Le proprietà delle potenze sono state pensate per le basi positive e solo per queste hanno piena validità.
2) A condizione di usare solo esponenti interi, la validità può essere estesa anche a basi negative e forse addirittura complesse.
Può capitare che tutto vada bene anche con basi negative ed esponenti frazionari, ma anche in quel caso si tratta di una forzatura. Ad esempio, è vero che $root(3)((-2)^3)=-2$ ma, a stretto rigore, è falso che $[(-2)^3]^(1/3)=-2$ perché il negativo $-8$ non può essere elevato al frazionario $1/3$
"giammaria":
Ho ancora meditato sull'esempio del mio ultimo post e credo di aver capito come stanno le cose; se però sbagliassi, chiedo che persone più competenti di me correggano o rettifichino le mie affermazioni.
Con base negativa (cioè con $a>0$) il calcolo fatto è sbagliato fin dall'inizio perché un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi e quindi non a $10/2$ che è una frazione (frazione apparente ma pur sempre frazione).
Con base positiva (cioè con $a<0$) quel calcolo è lecito, ma l'ultimo passaggio va corretto in $=|a^5|$. Poiché $a^5$ è negativo, per averne il valore assoluto lo cambio di segno e proseguo con $=-a^5$, che è giusto.
Da quanto detto, traggo le seguenti conclusioni:
1) Le proprietà delle potenze sono state pensate per le basi positive e solo per queste hanno piena validità.
2) A condizione di usare solo esponenti interi, la validità può essere estesa anche a basi negative e forse addirittura complesse.
Può capitare che tutto vada bene anche con basi negative ed esponenti frazionari, ma anche in quel caso si tratta di una forzatura. Ad esempio, è vero che $root(3)((-2)^3)=-2$ ma, a stretto rigore, è falso che $[(-2)^3]^(1/3)=-2$ perché il negativo $-8$ non può essere elevato al frazionario $1/3$
No!
A parte che credo tu abbia fatto un typo (base negativa e scrivi \(a > 0 \), e viceversa)
Il punto è qui stiamo lavorando nei complessi e non nei reali, e nei complessi puoi benissimo elevare un numero negativo per una potenza non intera, ma devi farlo nel modo corretto e il modo corretto è il seguente:
Per \( x \in \mathbb{R} \) e \(z \in \mathbb{C} \) allora l'elevamento a potenza è dato
\[ z^x := \left| z \right| e^{\operatorname{arg}(z) x i } \]
pertanto se hai \(z=-1 \) e \(x= \frac{10}{2} \) non c'è ambiguità perché
\[ (-1)^{10/2} = \left| - 1 \right| e^{\pi \frac{10}{2} i } = e^{5 \pi i } = - 1 \]
la ragione per cui alcune proprietà della potenza reale non funzionano per la potenza complessa è quella spiegata da Martino. In particolare non esiste la radice quadrata su \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \). Infatti si può dimostrare che non esiste alcuna funzione \(f : \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \) tale che \( f(z)^2 = z \). E la ragione (come quasi tutta l'analisi complessa) è che non esiste un logaritmo complesso su \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \), ma dev'essere di un'altra forma. Però puoi benissimo avere delle funzioni moltiplicative non su tutto \( \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \). Nella fattispecie hai due radici di \(1\). Una è \( -1 \) e l'altra è \(1 \) infatti \( \sqrt{1} = \pm 1 \), infatti ti ricordo che \( 1^2 = 1 \) e \( (-1)^2 = 1 \).
Quindi in realtà quando stiamo stiamo facendo una radice in realtà stiamo scegliendo un argomento per definire un logaritmo. Tutti quegli errori tipo \( (-1)^{10/2} = 1 \) sono dovuti al fatto che si moltiplicano radici quadrate differenti come se fossero la stessa radice quadrata. Infatti noi facciamo una scelta dell'argomento, tipicamente \( 0 \leq \operatorname{arg}(z) < 2 \pi \).
Quando ottieni \( 1 = - 1 \) l'errore sta nel fatto che usi simultaneamente sia \( 1 = e^{0i } \) che \(1= e^{2\pi i} \) come se fossero lo stesso oggetto sotto radice... essenzialmente \( \sqrt{e^{i0} } \) e \( \sqrt{e^{2\pi i} } \) sono le due radici di \(1 \) infatti \( \sqrt{e^{i0} } = 1 \) e \( \sqrt{e^{2\pi i} } = - 1 \) (NB: qui abbiamo preso due radici differenti...non sono la stessa radice quadrata)
La prima è con argomento \( 0 \leq \operatorname{arg}(z) < 2 \pi \) la seconda con \( 2 \pi \leq \operatorname{arg}(z) < 4 \pi \).
Non c'è nulla di sbagliato nell'affermare che \( \sqrt{e^{2 \pi i } } = \sqrt{e^{\pi i } } \sqrt{e^{\pi i } } = -1 \), l'errore sta nel dire che \( 1 = \sqrt{e^{2 \pi i } } \). Ma è falso affermare che la radice sia moltiplicativa poiché in realtà stiamo prendendo due radici differenti, una è \( r_1 \) definita con argomento tra \( 2 \pi \leq \operatorname{arg}(z) < 4 \pi \) e l'altra, che chiamiamo \( r_2 \) è con argomento \( 0 \leq \operatorname{arg}(z) < 2 \pi \). Dunque abbiamo che
\[ \sqrt{e^{2 \pi i } }= r_1( e^{2 \pi i } ) = r_2(e^{\pi i }) r_2(e^{\pi i } ) = \sqrt{e^{\pi i } } \sqrt{e^{\pi i } } = -1 \]
Puoi trovare delle radici in modo tale che siano in un certo senso "moltiplicative" nel senso detto da me appena sopra ma bisogna fare attenzione a prendere gli argomenti giusti. Quindi il mio consiglio è calcolare le radici passando in forma polare e non sbagli mai (puoi sostanzialmente invertire gli esponenti etc... facendo attenzione)
\[ \left( \sqrt{ -1 } \right)^{10} = \left( \sqrt{ e^{i \pi } } \right)^{10} = \left( e^{i \pi/2 } \right)^{10} = e^{5 \pi i } = - 1 \]
Mentre
\[ \left( (-1)^{10} \right)^{1/2} = \left( e^{10 \pi i} \right)^{1/2} = e^{5 \pi i } = - 1 \]
devi essere consistente con la scelta di argomenti che hai preso. Non puoi concludere che \( \sqrt{1} = 1 \) perché puoi avere anche che \( \sqrt{1} = -1 \).
"3m0o":
No!
A parte che credo tu abbia fatto un typo (base negativa e scrivi \(a > 0 \), e viceversa)
No, giammaria non ha fatto nessun typo, si stava riferendo a questo
"giammaria":
Sappiamo tutti che $ (-a)^5$ ...
Inoltre, non si stava riferendo neppure ai complessi (vedi qui
"giammaria":quindi si sta facendo solo confusione
... però nel caso in questione i complessi sono stati solo lo spunto per una difficoltà che si riferisce ai reali e ...
su un argomento trattato migliaia di volte nel Forum.A mio parere, l'unico "errore" di @Stillife è nel voler sostituire $i$ con $sqrt(-1)$ invece che $i^2= -1$.
È quella sostituzione che (gli) crea casini
, è sufficiente non farla IMHOCordialmente, Alex
Quante risposte! Non ho avuto molto tempo, domattina me le leggo per bene.
Ringrazio axpgn per quanto da lui detto in mia difesa e confermo che
1) non ho fatto alcun typo perché la mia base era $-a$ e quindi è negativa per $a>0$;
2) stavo riferendomi ai numeri reali.
A questo aggiungo che
3) in campo complesso, l'elevazione a potenze non intere è imprudente. Infatti l'argomento di $z$ è definito a meno di multipli di $2pi$ e quindi ci sono $n$ radici ennesime, cioè $n$ valori per l'elevazione a $1/n$.
Ad axpgn dico però che non vedo come l'uso della sola $i^2=-1$ risolva il dubbio di stillife.
1) non ho fatto alcun typo perché la mia base era $-a$ e quindi è negativa per $a>0$;
2) stavo riferendomi ai numeri reali.
A questo aggiungo che
3) in campo complesso, l'elevazione a potenze non intere è imprudente. Infatti l'argomento di $z$ è definito a meno di multipli di $2pi$ e quindi ci sono $n$ radici ennesime, cioè $n$ valori per l'elevazione a $1/n$.
Ad axpgn dico però che non vedo come l'uso della sola $i^2=-1$ risolva il dubbio di stillife.
@giammaria
Credo che axpgn si riferrisse al fatto che, nel calcolo da me considerato, $i^2=-1$ elimini eventuali ambiguità:
$(-i)^10=(i)^10=(i^2)^5=(-1)^5=-1$
Credo che axpgn si riferrisse al fatto che, nel calcolo da me considerato, $i^2=-1$ elimini eventuali ambiguità:
$(-i)^10=(i)^10=(i^2)^5=(-1)^5=-1$
Sì ma non in quel modo
$(-i)^10=[(-i)^2]^5=(i^2)^5=(-1)^5=-1$
Cordialmente, Alex
$(-i)^10=[(-i)^2]^5=(i^2)^5=(-1)^5=-1$
Cordialmente, Alex
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