Posizione di una retta rispetto a un'ellisse
Nel fascio di rette $y=k$, determina le rette sulle quali l'elisse di equazione $x^2/2+y^2/12=1$ stacca una corda di lunghezza $sqrt(2)$.
Ho provato a mettere a sistema $y=k$ e l'equazione della ellisse e ho trovato l'equazione risolvente; ho isolato il valore di K ed ho trovato due soluzioni nelle quali è presente l'incognita x.
Non so se è corretto fin qui il mio lavoro ma comunque sia non so come procedere. Potete indicarmi come fare?
Grazie.
Ho provato a mettere a sistema $y=k$ e l'equazione della ellisse e ho trovato l'equazione risolvente; ho isolato il valore di K ed ho trovato due soluzioni nelle quali è presente l'incognita x.
Non so se è corretto fin qui il mio lavoro ma comunque sia non so come procedere. Potete indicarmi come fare?
Grazie.
Risposte
Le coordinate dei punti d'intersezione tra ellisse e fascio si ottengono risolvendo il sistema
${(x^2/2+y^2/12=1), (y=k):}->$
${(x^2=2-k^2/6), (y=k):}->{(x=+-sqrt(2-k^2/6)), (y=k):}$.
La lunghezza $l$ della corda è
$l=+sqrt(2-k^2/6)-(-sqrt(2-k^2/6))=2sqrt(2-k^2/6)$
e questa deve essere $=sqrt(2)$.
Per cui si ha
$2sqrt(2-k^2/6)=sqrt(2)->{(2(2-k^2/6)=1), (2-k^2/6>=0):}->$
${(2-1/2=k^2/6), (2-k^2/6>=0):}->k=+-3$.
Quindi le rette cercate sono $y=+-3$.
${(x^2/2+y^2/12=1), (y=k):}->$
${(x^2=2-k^2/6), (y=k):}->{(x=+-sqrt(2-k^2/6)), (y=k):}$.
La lunghezza $l$ della corda è
$l=+sqrt(2-k^2/6)-(-sqrt(2-k^2/6))=2sqrt(2-k^2/6)$
e questa deve essere $=sqrt(2)$.
Per cui si ha
$2sqrt(2-k^2/6)=sqrt(2)->{(2(2-k^2/6)=1), (2-k^2/6>=0):}->$
${(2-1/2=k^2/6), (2-k^2/6>=0):}->k=+-3$.
Quindi le rette cercate sono $y=+-3$.
Molto semplice e lineare. Ho capito.
Grazie mille.
Grazie mille.
"chiaraotta":
La lunghezza $l$ della corda è
$l=+sqrt(2-k^2/6)-(-sqrt(2-k^2/6))=2sqrt(2-k^2/6)$
e questa deve essere $=sqrt(2)$.
Per cui si ha
$2sqrt(2-k^2/6)=sqrt(2)->{(2(2-k^2/6)=1), (2-k^2/6>=0):}->$
${(2-1/2=k^2/6), (2-k^2/6>=0):}->k=+-3$.
Quindi le rette cercate sono $y=+-3$.
ciao chiara! puoi spiegare meglio come ricavi la lunghezza della corda?
L'equazione essendo $y=k$ è una retta parallela all'asse delle ascisse, quindi ciò che varia è il valore dell'ascissa.
Abbiamo ottenuto i valori delle rispettive ascisse e abbiamo calcolato la loro distanza (sai come si fa?); dopodiché abbiamo uguagliato questa distanza alla lunghezza della corda data dal problema e che è $sqrt(2)$. Risolta l'equazione, noterai che abbiamo trovato i due valori di K, che non sono altro che l'equazioni delle due rette secanti l' ellisse.
ciao.
Abbiamo ottenuto i valori delle rispettive ascisse e abbiamo calcolato la loro distanza (sai come si fa?); dopodiché abbiamo uguagliato questa distanza alla lunghezza della corda data dal problema e che è $sqrt(2)$. Risolta l'equazione, noterai che abbiamo trovato i due valori di K, che non sono altro che l'equazioni delle due rette secanti l' ellisse.
ciao.
Nel fascio di rette di centro O(0;0), individua su quali rette l'ellisse di eq. $x^4/4+y^2=1$ stacca una corda di lunghezza $sqrt(10)$.
Eq. della retta generica passante per il centro: $y=mx$.
L'ho posta a sistema con l'eq. della ellisse e ho cosi ricavato l' equazione risolvente $x^2+4m^2x^2=4$
Ho ricavato le due radici della equazione: $x^2=2/(sqrt(1+4m^2))$
Ho posto l'uguaglianza tra la differenza delle due soluzioni (in quanto rappresentano i rispettivi valori delle ascisse) e la lunghezza della corda: $4/(sqrt(1+4m^2))=sqrt(10)$.
Ricavo $m$ e lo sostituisco alla equazione del fascio.
Perchè non mi esce? In cosa sbaglio?
Grazie per l'aiuto.
Eq. della retta generica passante per il centro: $y=mx$.
L'ho posta a sistema con l'eq. della ellisse e ho cosi ricavato l' equazione risolvente $x^2+4m^2x^2=4$
Ho ricavato le due radici della equazione: $x^2=2/(sqrt(1+4m^2))$
Ho posto l'uguaglianza tra la differenza delle due soluzioni (in quanto rappresentano i rispettivi valori delle ascisse) e la lunghezza della corda: $4/(sqrt(1+4m^2))=sqrt(10)$.
Ricavo $m$ e lo sostituisco alla equazione del fascio.
Perchè non mi esce? In cosa sbaglio?
Grazie per l'aiuto.
Per trovare le intersezioni della retta del fascio con l'ellisse si deve risolvere il sistema
${(x^2/4+y^2=1), (y=mx):}->{(x^2+4m^2x^2=4), (y=mx):}->$
${(x^2(1+4m^2)=4), (y=mx):}->{(x^2=4/(1+4m^2)), (y=mx):}->$
${(x=+-2/sqrt(1+4m^2)), (y=+-m2/sqrt(1+4m^2)):}$.
La lunghezza al quadrato della corda è
$l^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=$
$(x_2-x_1)^2+m^2(x_2-x_1)^2=$
$(1+m^2)(x_2-x_1)^2=$
$(1+m^2)[2/sqrt(1+4m^2)-(-2/sqrt(1+4m^2))]^2=$
$(1+m^2)[4/sqrt(1+4m^2)]^2=(1+m^2)16/(1+4m^2)$.
Poiché la corda è di lunghezza $sqrt(10)$, si può scrivere l'equazione
$10=(1+m^2)16/(1+4m^2)->$
$5(1+4m^2)=8(1+m^2)->12m^2=3->m=+-1/2$.
Le rette cercate sono dunque
$y=+-1/2x$.
${(x^2/4+y^2=1), (y=mx):}->{(x^2+4m^2x^2=4), (y=mx):}->$
${(x^2(1+4m^2)=4), (y=mx):}->{(x^2=4/(1+4m^2)), (y=mx):}->$
${(x=+-2/sqrt(1+4m^2)), (y=+-m2/sqrt(1+4m^2)):}$.
La lunghezza al quadrato della corda è
$l^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=$
$(x_2-x_1)^2+m^2(x_2-x_1)^2=$
$(1+m^2)(x_2-x_1)^2=$
$(1+m^2)[2/sqrt(1+4m^2)-(-2/sqrt(1+4m^2))]^2=$
$(1+m^2)[4/sqrt(1+4m^2)]^2=(1+m^2)16/(1+4m^2)$.
Poiché la corda è di lunghezza $sqrt(10)$, si può scrivere l'equazione
$10=(1+m^2)16/(1+4m^2)->$
$5(1+4m^2)=8(1+m^2)->12m^2=3->m=+-1/2$.
Le rette cercate sono dunque
$y=+-1/2x$.
In effetti, in questo caso la retta non è una costante ( come nel esercizio precedente) ma dipende dal coefficiente angolare m; quindi per calcolare la distanza tra le ascisse e tra le ordinate bisogna applicare il T. di Pitagora.
Grazie mille.
Grazie mille.
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