Polinomio

[francicko]

Sia $P(x)$ un polinomio generico di grado $n$, e sia $alpha$ una soluzione, quindi $P(alpha) =0$ allora $(x-alpha)|P(x)$ come si dimostra?
E viceversa se $(x-alpha)|P(x)$ allora si ha $P(alpha) =0$
Grazie!

[@melia]

È il teorema di Ruffini.

"francicko":Sia $P(x)$ un polinomio generico di grado $n$, e sia $alpha$ una soluzione, quindi $P(alpha) =0$ allora $(x-alpha)|P(x)$ come si dimostra?
E viceversa se $(x-alpha)|P(x)$ allora si ha $P(alpha) =0$
Grazie!

Prendiamo un polinomio $P (x)$ e un binomio $(x-alpha)$, per la definizione di divisione vale la relazione $P(x)= Q(x)*(x-alpha)+ R$, dove $R$ è una costante ed è il resto della divisione tra un polinomio $P (x)$ e il divisore di primo grado $(x-alpha)$, mentre $Q(x)$ è il quoziente di tale divisione. Ora P(x) assume dei valori in funzione di $x$; se $x=alpha$ la precedente relazione diventerà: $P(alpha)=Q(alpha)*(0)+R-> R=P (alpha)$.
Dall'ultima uguaglianza ricaviamo che
1. se $P(alpha) =0$ allora anche $R=0$, cioè $P(x)$ è divisibile per $x-alpha$
2. se $R=0$, cioè $P(x)$ è divisibile per $x-alpha$, allora anche $P(alpha) =0$