Periodo Funzione
ciao a tutti 
ho una funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{\tan x}{4\sin ^2 x - 1} \)
per trovare il periodo, so che il periodo di somma differenza prodotto e quoziente fra funzioni è il mcm del periodo delle singole funzioni.. dato inoltre che \(\displaystyle T(\sin^2x) = T(\sin x * \sin x) = 2\pi \), si può concludere che \(\displaystyle T(f(x)) = 2\pi \)
volevo sapere; il ragionamento è giusto? Ci sono corner case più difficili che potrebbero far fallire un ragionamento di questo tipo? Potete linkarmi una buona dispensa su questo?
ponendo \(\displaystyle f(x+T) = f(x) \) trovo molto spesso calcoli complicati e vorrei evitare se possibile
grazie a tutti!
ho una funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{\tan x}{4\sin ^2 x - 1} \)
per trovare il periodo, so che il periodo di somma differenza prodotto e quoziente fra funzioni è il mcm del periodo delle singole funzioni.. dato inoltre che \(\displaystyle T(\sin^2x) = T(\sin x * \sin x) = 2\pi \), si può concludere che \(\displaystyle T(f(x)) = 2\pi \)
volevo sapere; il ragionamento è giusto? Ci sono corner case più difficili che potrebbero far fallire un ragionamento di questo tipo? Potete linkarmi una buona dispensa su questo?
ponendo \(\displaystyle f(x+T) = f(x) \) trovo molto spesso calcoli complicati e vorrei evitare se possibile
grazie a tutti!
Risposte
Sicuro che sia $2pi$? Dovrebbe essere $pi$
Sbagli quando dici che $T(sin^2x)=2pi$.
In realtà è $pi$. Infatti $sin^2(x+pi)= [sin(x+pi)]^2=[-sinx]^2=[sinx]^2=sin^2x$
In generale, $T(sin^n(x))={(pi, se ~ n ~e' ~ pari),(2pi, ~ ~ ~ se ~ n ~ e' ~ dispari):}$
Sbagli quando dici che $T(sin^2x)=2pi$.
In realtà è $pi$. Infatti $sin^2(x+pi)= [sin(x+pi)]^2=[-sinx]^2=[sinx]^2=sin^2x$
In generale, $T(sin^n(x))={(pi, se ~ n ~e' ~ pari),(2pi, ~ ~ ~ se ~ n ~ e' ~ dispari):}$
ecco, è esattamente il tipo di cose che speravo saltassero fuori..
in realtà quello che ho scritto prima credo si applichi per trovare (un) periodo, senza garanzia che sia quello minimo..
per il seno hai ragionissima, \(\displaystyle T(\sin x) = 2\pi \) perchè \(\displaystyle \sin(x + \pi) = -\sin x \neq \sin x \).. elevando al quadrato però il segno risulta in entrambi i casi positivo e quindi \(\displaystyle T(\sin ^2 x) = \pi \), come hai detto tu.. (si può generalizzare dicendo che \(\displaystyle T(\sin ^ {2n + 1} (x)) = 2\pi \) mentre \(\displaystyle T(\sin ^ {2n} (x)) = \pi \) ? )
quindi cosa mi consigli di fare? trovare il periodo come ho fatto prima e poi controllare che sia il minimo controllando i sottomultipli?
edit: stavamo pensando la stessa cosa
ho visto ora il tuo edit
in realtà quello che ho scritto prima credo si applichi per trovare (un) periodo, senza garanzia che sia quello minimo..
per il seno hai ragionissima, \(\displaystyle T(\sin x) = 2\pi \) perchè \(\displaystyle \sin(x + \pi) = -\sin x \neq \sin x \).. elevando al quadrato però il segno risulta in entrambi i casi positivo e quindi \(\displaystyle T(\sin ^2 x) = \pi \), come hai detto tu.. (si può generalizzare dicendo che \(\displaystyle T(\sin ^ {2n + 1} (x)) = 2\pi \) mentre \(\displaystyle T(\sin ^ {2n} (x)) = \pi \) ? )
quindi cosa mi consigli di fare? trovare il periodo come ho fatto prima e poi controllare che sia il minimo controllando i sottomultipli?
edit: stavamo pensando la stessa cosa
ho visto ora il tuo edit
"ant.py":
stavamo pensando la stessa cosa
Guarda, lasciando stare un attimo il come si risolve in modo rigoroso questo esercizio (francamente non lo ricordo), si può ragionare così:
Questa funzione ha certamente un periodo, che è al massimo $2pi$ .
Ci sono due candidati: $pi$ e $2pi$. Non ce ne sono altri perchè il periodo della tangente è $pi$, quindi come minimo il periodo totale deve essere $pi$.
Se non è $pi$ è sicuramente $2pi$.
Per quanto riguarda il numeratore non ci sono problemi ( la tangente ha periodo $pi$)
Cerco allora di capire se $sin^2(x)$ ha periodo $pi$. Se non lo so già di mio, basta fare quella riga di conto che ho scritto prima.
Fine
perfetto, alla fine farò così.. spero solo che non mi escano periodi tipo \(\displaystyle 8\pi \) 
se hai qualche dispensa su internet di appena più approfondito sarebbe grande
grazie
se hai qualche dispensa su internet di appena più approfondito sarebbe grande
grazie
Ehm... no, mi spiace, ma non saprei dove trovare qualcosa di utile, se non tramite il solito google. Saluti 
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