Periodo di una funzione
ciao a tutti, sto facendo uno studio di funzione e mi è venuto un dubbio sul calcolo del periodo di :
$(cosx)/(1-cosx)$
come si calcola?
inoltre ho difficoltà nel calcolare gli asintoti:
per il verticale
$lim_(x->0^-) (cosx)/(1-cosx)$. viene 1/0, ma è $0^-$ o $0^+$?
per l'asintoto orizzontale come si procede? è impossibile risolverlo?
grazie in anticipo
$(cosx)/(1-cosx)$
come si calcola?
inoltre ho difficoltà nel calcolare gli asintoti:
per il verticale
$lim_(x->0^-) (cosx)/(1-cosx)$. viene 1/0, ma è $0^-$ o $0^+$?
per l'asintoto orizzontale come si procede? è impossibile risolverlo?
grazie in anticipo
Risposte
Beh, che non sia $\pi$ si verifica....
sicuramente la funzione da te proposta si ripete ogni 2pi.
non sappiamo perio' se tale e' l'intervallo minimo per cui tale funzione si ripete.
non sappiamo perio' se tale e' l'intervallo minimo per cui tale funzione si ripete.
Ricorda che per trovare il periodo di una funzione si applica questa formula:
$f(x+T)=f(x)$.
Veniamo agli asintoti. Per l'asintoto verticale devi calcolarti prima il campo di esistenza, che nel nostro caso è $x ne 2kpi$, o se vuoi limitare il campo di studio $x in (0, 2pi)$.
$lim_(x->2kpi^-)f(x)=+oo$
$lim_(x->2kpi^+)f(x)=+oo$
N.B. Se restringi il dominio a $(0,2pi)$, calcolerai il limite per $x->0^+$ e per $x->2pi^-$.
Il segno degli infiniti lo ricavi dallo studio del segno della funzione.
Essendo la funzione periodica, chiaramente non trovi asintoti orizzontali.
Lo studio dei limiti va fatto agli estremi del campo di esistenza: se ci restrigiamo a $(0,2pi)$, gli unici limiti da calcolare sono per $x->0$ e $x->2pi$, come abbiamo gia fatto prima.
$f(x+T)=f(x)$.
Veniamo agli asintoti. Per l'asintoto verticale devi calcolarti prima il campo di esistenza, che nel nostro caso è $x ne 2kpi$, o se vuoi limitare il campo di studio $x in (0, 2pi)$.
$lim_(x->2kpi^-)f(x)=+oo$
$lim_(x->2kpi^+)f(x)=+oo$
N.B. Se restringi il dominio a $(0,2pi)$, calcolerai il limite per $x->0^+$ e per $x->2pi^-$.
Il segno degli infiniti lo ricavi dallo studio del segno della funzione.
Essendo la funzione periodica, chiaramente non trovi asintoti orizzontali.
Lo studio dei limiti va fatto agli estremi del campo di esistenza: se ci restrigiamo a $(0,2pi)$, gli unici limiti da calcolare sono per $x->0$ e $x->2pi$, come abbiamo gia fatto prima.
Sia $f(x) = \frac{\cos(x)}{1 - \cos(x)}$, per ogni $x \in D = RR$ \ $\{2k\pi\}_{k \in ZZ}$. Quali che siano $x \in D$ e $k \in ZZ$: $x+2k\pi \in D$ e $f(x+2k\pi) = f(x)$. D'altronde, $f$ è continua in $D$ e non è costante. Pertanto esiste $0 < T \le 2\pi$ tale che $f$ è periodica di periodo $T$. Ancora, $f(x+T) = f(x)$ solo se $\frac{\cos(x+T)}{1 - \cos(x+T)} = \frac{\cos(x)}{1 - \cos(x)}$, i.e. $\cos(x+T) = \cos(x)$, identicamente in $D$. Dunque, necessariamente, $T \ge 2\pi$. Ne segue $T = 2\pi$. []
puoi farmi un esempio,anche semplice,dove invece il periodo è solo $pi$? una funzione con seno e coseno dico..senza la tangente..grazie.
Ad esempio $ sen(2x) $ ha periodo $pi$.
però $sen(2x)$ =$2senxcosx$ e quindi dovrebbe avere periodo $2pi$ ..
$sen(2x) =sen[2(x+T)] = sen[2x+2T] $ , quindi $2T=2kpi $ da cui $ T= kpi $ e il valore minimo si ha per $k=1 $; $T=pi $.
grazie mille
quindi $senax$ ha periodo $2pi/a$ giusto?
Giusto
grazie amelia!:)
Se invece si avesse una funzione somma di due funzioni periodiche con periodo diverso, allora il periodo della funzione è il m.cm. dei periodi delle singole funzioni .
"Camillo":
Se invece si avesse una funzione somma di due funzioni periodiche con periodo diverso, allora il periodo della funzione è il m.cm. dei periodi delle singole funzioni .
Urka, utilissimo! Grazie!!!
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