Periodo di una funzione
Potreste confermarmi che il periodo di $y= tan(pi/6 - x/2)$ è $2pi$? Sul libro c'è scritto $pi$ ma io non mi ci trovo:
$y=tanx$ ha periodo $pi$, per semplicità prendo $[-pi/2, pi/2]$. Per capire il periodo della funzione iniziale, valuto l'argomento della tangente in $-pi/2$ e $pi/2$:
1) $pi/6 - x/2 = -pi/2 => x_1 = 4/3pi$
2) $pi/6-x/2 = pi/2 => x_2= -2/3pi$.
Poiché $x_1f(x_2)$, mi aspetto che la funzione sia monotona decrescente. Il suo periodo dovrebbe essere $4/3pi - (-2/3pi) = 2pi$, giusto? Vorrei solo esserne certo.
$y=tanx$ ha periodo $pi$, per semplicità prendo $[-pi/2, pi/2]$. Per capire il periodo della funzione iniziale, valuto l'argomento della tangente in $-pi/2$ e $pi/2$:
1) $pi/6 - x/2 = -pi/2 => x_1 = 4/3pi$
2) $pi/6-x/2 = pi/2 => x_2= -2/3pi$.
Poiché $x_1
Risposte
Ciao HowardRoark.
Dire che sono arrugginito con la matematica non rende l'idea di quanto lo sono, ma magari due teste sono meglio di una. Da parte mia penso che posso ricorrere alla sottrazione degli angoli (nel caso della tangente), ovvero
$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}$
per separare i due angoli che si sottraggono nell'argomento della tangente e avere un termine in cui compaiono solo dei $\tan(\frac{x}{2})$, da cui deduco anch'io un periodo di $2\pi$, proprio per via di quel 1/2 applicato alla x.
Dire che sono arrugginito con la matematica non rende l'idea di quanto lo sono, ma magari due teste sono meglio di una. Da parte mia penso che posso ricorrere alla sottrazione degli angoli (nel caso della tangente), ovvero
$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}$
per separare i due angoli che si sottraggono nell'argomento della tangente e avere un termine in cui compaiono solo dei $\tan(\frac{x}{2})$, da cui deduco anch'io un periodo di $2\pi$, proprio per via di quel 1/2 applicato alla x.
Le formule di addizione e sottrazione degli angoli le devo ancora ripassare, però ad occhio dovrebbe funzionare anche il mio metodo per capire il periodo della funzione, cioè considerando il periodo della funzione "di base", y=tanx, e poi valutare l'argomento della funzione dell'esercizio in due estremi qualsiasi di un periodo (normalmente per la tangente scelgo $[-pi/2, pi/2]$).
Comunque ti ringrazio per la risposta, ho calcolato questo periodo anche con un tool online ed in effetti è propio $2pi$.
Comunque ti ringrazio per la risposta, ho calcolato questo periodo anche con un tool online ed in effetti è propio $2pi$.
In generale, se una funzione:
ha periodo:
la funzione:
ha periodo:
$y=f(x)$
ha periodo:
$T$
la funzione:
$y=f(m/nx)$
ha periodo:
$n/mT$
.
Lo potresti dimostrare? (riferito al messaggio di Noodles)
Io, con il metodo che ho descritto sopra, ho ricavato che il periodo di $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.
Infatti, $y=senx$ ha periodo $2pi$. Prendo per semplicità l'intervallo $[0,2pi]$ e valuto l'argomento della funzione sinusoidale di sopra negli estremi di tale intervallo:
$omegax+phi = 0 => x_1= (-phi)/omega$.
$omegax + phi = 2pi => x_2= (2pi-phi)/omega$.
Facendo la differenza fra l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'intervallo $[x_1,x_2]$ ottengo: $(2pi-phi)/omega - (-phi/omega) = (2pi)/omega$, in accordo con la formula del libro.
Mi interessa sapere se il mio procedimento sia valido in generale, perché è un modo molto semplice per valutare il periodo di una qualsiasi funzione sinusoidale, oltre ad essere una dimostrazione di "il periodo di una funzione del tipo $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.
Io, con il metodo che ho descritto sopra, ho ricavato che il periodo di $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.
Infatti, $y=senx$ ha periodo $2pi$. Prendo per semplicità l'intervallo $[0,2pi]$ e valuto l'argomento della funzione sinusoidale di sopra negli estremi di tale intervallo:
$omegax+phi = 0 => x_1= (-phi)/omega$.
$omegax + phi = 2pi => x_2= (2pi-phi)/omega$.
Facendo la differenza fra l'estremo superiore e l'estremo inferiore dell'intervallo $[x_1,x_2]$ ottengo: $(2pi-phi)/omega - (-phi/omega) = (2pi)/omega$, in accordo con la formula del libro.
Mi interessa sapere se il mio procedimento sia valido in generale, perché è un modo molto semplice per valutare il periodo di una qualsiasi funzione sinusoidale, oltre ad essere una dimostrazione di "il periodo di una funzione del tipo $y=A*sen(omegax+phi)$ è $(2pi)/omega$.
"sellacollesella":
Per avere una conferma definitiva puoi applicare direttamente la definizione
La dimostrazione è molto chiara, l'unico problema è che prima devo ripassare le formule di addizione e sottrazione della tangente perché non le ricordo assolutamente.
.
"HowardRoark":
Lo potresti dimostrare?
$f[m/n(x+n/mT)]=f(m/nx+T)=f(m/nx)$
"Noodles":
$f[m/n(x+n/mT)]=f(m/nx+T)=f(m/nx)$
Ma perché $f(m/nx+T) = f(m/nx)$? Per ipotesi hai che $f(x) = f(x+T)$ ma questo non mi sembra che giustifichi l'uguaglianza. La dimostrazione è chiara, ho solo una perplessità su questo passaggio.
Puoi considerare $m/nx$ un segnaposto $***$:
Il segnaposto $***$ può essere una qualsiasi espressione contenete $x$ (alla fine si riduce comunque a un numero).
$f(***+T)=f(***)$
Il segnaposto $***$ può essere una qualsiasi espressione contenete $x$ (alla fine si riduce comunque a un numero).
Ok, ora è più chiaro. Grazie mille!
"sellacollesella":
\[
\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x+T}{2}\right) = 0
\] da cui: \[
\tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2}-\frac{T}{2}\right) = 0
\]
Comunque per capire questa dimostrazione non era necessario conoscere le formule di addizione e sottrazione della tangente: se il periodo di $y=tanx$ è $pi+kpi$, allora $tan(pi/6-x/2) = tan(pi/6-x/2-T/2) <=> T/2=pi + kpi => T=2pi +kpi$.
Se poi si vuole mostrare algebricamente che il periodo della tangente è $pi + kpi$ allora bisogna sviluppare $tan(x)=tan(x+T)$ e in questo caso occorre conoscerle.
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