Periodo di funzioni goniometriche

[Kikko03]

Nel seguente esercizio determina k in modo che la funzione abbia il periodo T indicato.
y=sin(kx)+ cos(6x), T= (2/3)π
La soluzione dell'esercizio è "3".

[Matlurker]

Una funzione, somma di due funzioni periodiche, di periodi t1 e t2, è periodica, di periodo T, se t1 e t2 sono commensurabili tra loro. Ossia, se, presi p e q interi e, per semplificare, positivi e non divisibili tra loro, risulta:

[math]\frac{t_1}{t_2}=\frac{p}{q}[/math]

In tal caso, risulta essere:

[math]T=\frac{2\pi}{3}=q \cdot t_1=p \cdot t_2[/math]

E' facile dimostrare che:

[math]t1=\frac{2\pi}{k}[/math]

e

[math]t_2=\frac{2\pi}{6}[/math]

Perciò

[math]T=\frac{2\pi}{3}=p \cdot \frac{2\pi}{6}\Longleftrightarrow p=2 [/math]

Sostituiamo in:

[math]\frac{t_1}{t_2}=\frac{p}{q}[/math]

i valori noti di t1, t2 e p:

[math]\frac{6}{k}=\frac{2}{q} \Longleftrightarrow k=3 \cdot q[/math]

che è valida per ogni q non divisibile per p=2, ossia per ogni k dispari multiplo di 3, ossia per ogni k=3(2n-1),

[math]\forall n \in \mathbb{Z}[/math]

. Nel caso di q=1, k=3

[Kikko03]

Grazie mille per la tua risposta Matlurker, vorrei solo farti una domanda teorica: cosa sono p e q?

[Matlurker]

Sono due numeri interi e non divisibili tra loro, in modo che la loro frazione rappresenti un numero razionale. Se fosse irrazionale, infatti, la funzione somma generalmente non sarebbe periodica. La condizione è quindi solo sufficiente e non necessaria.

[Kikko03]

Grazie