Periodo di funzioni goniometriche

Kikko03
Nel seguente esercizio determina k in modo che la funzione abbia il periodo T indicato.
y=sin(kx)+ cos(6x), T= (2/3)π
La soluzione dell'esercizio è "3".

Risposte
Matlurker
Una funzione, somma di due funzioni periodiche, di periodi t1 e t2, è periodica, di periodo T, se t1 e t2 sono commensurabili tra loro. Ossia, se, presi p e q interi e, per semplificare, positivi e non divisibili tra loro, risulta:

[math]\frac{t_1}{t_2}=\frac{p}{q}[/math]


In tal caso, risulta essere:

[math]T=\frac{2\pi}{3}=q \cdot t_1=p \cdot t_2[/math]


E' facile dimostrare che:

[math]t1=\frac{2\pi}{k}[/math]


e

[math]t_2=\frac{2\pi}{6}[/math]


Perciò
[math]T=\frac{2\pi}{3}=p \cdot \frac{2\pi}{6}\Longleftrightarrow p=2 [/math]


Sostituiamo in:

[math]\frac{t_1}{t_2}=\frac{p}{q}[/math]


i valori noti di t1, t2 e p:

[math]\frac{6}{k}=\frac{2}{q} \Longleftrightarrow k=3 \cdot q[/math]


che è valida per ogni q non divisibile per p=2, ossia per ogni k dispari multiplo di 3, ossia per ogni k=3(2n-1),
[math]\forall n \in \mathbb{Z}[/math]
. Nel caso di q=1, k=3

Kikko03
Grazie mille per la tua risposta Matlurker, vorrei solo farti una domanda teorica: cosa sono p e q?

Matlurker
Sono due numeri interi e non divisibili tra loro, in modo che la loro frazione rappresenti un numero razionale. Se fosse irrazionale, infatti, la funzione somma generalmente non sarebbe periodica. La condizione è quindi solo sufficiente e non necessaria.

Kikko03
Grazie

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