Periodo 9

[Paolo k]

All'università vi insegneranno che un razionale di periodo 9 non esiste; 1 è diverso da 0,9999999...
Prima di tutto, cosa semplicissima, non potete trovare un numero razionale che in forma decimale abbia periodo 9. Invece 0,99999.... =$/sum_{k=1}^N 9/10^K$ per N che tende all'infinito. Questo non è un numero razionale ma un limite che tende a 1 senza mai arrivarci. Ricordate che un limite non è un numero razionale.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Entrare nella sezione delle superiori per confondere le idee agli studenti non mi sembra un'idea geniale.

[axpgn]

Non è vero che $0.\bar(9)$ è un limite; è un numero decimale periodico come $1/3$ per esempio.
Non è vero che all'università ti dicono che non esiste; dicono invece che $1=0.\bar(9)$ perciò per evitare ambiguità si usa solo la rappresentazione $1$.

Una dimostrazione di quell'uguaglianza che ho trovato simpatica è questa:

Tra due numeri razionali DISTINTI c'è n'è sempre un altro (basta fare la media aritmetica per trovarne uno)
Tra $0.\bar(9)$ e $1$ non ce n'è nessuno quindi sono lo stesso numero.

[Paolo k]

Concordo che0,9999999....abbia lo stesso valore di 1 ma quello che volevo sottolineare è che 1 è un numero razionale(Cioè o un intero o una frazione dove i due termini sono primi fra di loro) mentre 0,999999.... è una successione(L'ho scritto nella formula al primo messaggio) di un numero infinito numerabile di 9.

[axpgn]

Ma no, sono entrambi numeri.
Secondo il tuo ragionamento $0.\bar(3)$ non sarebbe un numero razionale.

[Paolo k]

Sì che lo è, 0,3333... =$1/3$

[axpgn]

Come $0.\bar(9)=9/9$

[Quinzio]

"Paolo k":Concordo che0,9999999....abbia lo stesso valore di 1 ma quello che volevo sottolineare è che 1 è un numero razionale(Cioè o un intero o una frazione dove i due termini sono primi fra di loro) mentre 0,999999.... è una successione(L'ho scritto nella formula al primo messaggio) di un numero infinito numerabile di 9.

$0.\bar9$ non e' una successione. E' un numero solamente scritto nel seguente modo: uno zero seguito dopo la virgola(punto) dalla cifra 9 scritta infinite volte.

Una successione innanzitutto e' una sequenza di numeri, non un numero solo.
Una successione che tende a $0.\bar9$ e' questa:
${0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}$
dove nessuno degli elementi ha la cifra 9 scritta un numero inifinito di volte.
Tutti gli elementi sono scritti da un numero finito di cifre.
La sequenza e' composta da infiniti elementi che si avvicinano sempre piu' a $1 = 0.\bar9$.