Periodicità di funzioni
Se ho due funzioni $f(x)=f(x+T_f)$ e $(g(x)=g(x+T_g)$ quale sara il periodo della funzione $h(x)=f(ax+k)+g(bx+h)$? e quello della funzione $h(x)=f(ax+k)*g(bx+h)$?
Risposte
credo si debba supporre che Tf e Tg abbiano un comune multiplo...
mi sbaglio?
mi sbaglio?
ehm...penso di si...
a occhi odirei che se
f1(x) e' periodica di periodo T1
f2(x) e' periodica di periodo T2
e se esiste P minimo comune multiplo di T1 e T2
allora
f3(x)=f1(x)+f2(x) e' periodica di periodo T3=P
e lo stesso dovrebbe valere per la funzione prodotto
spero di non aver detto delle baggianate.
baggio mi perdoni.............................................
f1(x) e' periodica di periodo T1
f2(x) e' periodica di periodo T2
e se esiste P minimo comune multiplo di T1 e T2
allora
f3(x)=f1(x)+f2(x) e' periodica di periodo T3=P
e lo stesso dovrebbe valere per la funzione prodotto
spero di non aver detto delle baggianate.
baggio mi perdoni.............................................
bene..anche io ero giunto piu o meno alla stessa cnclusione...è che non riesco a convincermene.C'è una dimostrazione?
Tratto da questa pagina:
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(\pi x)$ hanno periodo, rispettivamente, $2\pi$ e $2$. La loro somma non è nemmeno una funzione periodica. Discorso analogo vale per il prodotto o il quoziente di queste due funzioni.
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(\pi x)$ hanno periodo, rispettivamente, $2\pi$ e $2$. La loro somma non è nemmeno una funzione periodica. Discorso analogo vale per il prodotto o il quoziente di queste due funzioni.
forse basta trovare un esempio semplice (anche banale) in cui si dimostra che non c'e' periodicita' per periodi minori di P
ed il gioco e' fatto, in quanto dobbiamo metterci nelle condizioni piu' generali possibile
ed il gioco e' fatto, in quanto dobbiamo metterci nelle condizioni piu' generali possibile
"Tipper":
Tratto da questa pagina:
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(\pi x)$ hanno periodo, rispettivamente, $2\pi$ e $2$. La loro somma non è nemmeno una funzione periodica. Discorso analogo vale per il prodotto o il quoziente di queste due funzioni.
Beh, è evidente che non puoi fare il mcm tra pi e 2...Poniamo che $t_f$ e $t_G$ siano razionali.
Se hanno stesso periodo (anche se irrazionale) va bene?
Le funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = 1-sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è però la funzione costante $h(x) = 1$ che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni $f(x) = (sinx)^2$ e $g(x) = (cosx)^2$, la cui somma è $1$.
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(2x) - sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è la funzione $h(x) = sin(2x)$ che è invece periodica di periodo $\pi$.
Questi esempi sono sempre tratti dalla stessa pagina.
EDIT: Non avevo letto "Poniamo che $t_f$ e $t_G$ siano razionali".
Le funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = 1-sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è però la funzione costante $h(x) = 1$ che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni $f(x) = (sinx)^2$ e $g(x) = (cosx)^2$, la cui somma è $1$.
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(2x) - sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è la funzione $h(x) = sin(2x)$ che è invece periodica di periodo $\pi$.
Questi esempi sono sempre tratti dalla stessa pagina.
EDIT: Non avevo letto "Poniamo che $t_f$ e $t_G$ siano razionali".
"Tipper":
Se hanno stesso periodo (anche se irrazionale) va bene?
Le funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = 1-sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è però la funzione costante $h(x) = 1$ che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni $f(x) = (sinx)^2$ e $g(x) = (cosx)^2$, la cui somma è $1$.
Le due funzioni $f(x) = sinx$ e $g(x) = sin(2x) - sinx$ sono entrambe periodiche di periodo $2\pi$. La loro somma è la funzione $h(x) = sin(2x)$ che è invece periodica di periodo $\pi$.
Questi esempi sono sempre tratti dalla stessa pagina.
EDIT: Non avevo letto "Poniamo che $t_f$ e $t_G$ siano razionali".
l'ipotesi che avessero un comune multiplo lo avevamo scritto nel corso del post.
inoltre mi sembra un po' fuorviante non considerare 1 come una funzione periodica, anche se nno saprei come definire la periodicita' altrimenti.
Tornando alla domanda originale, c'è una dimostrazione o si deve prendere "per fatto noto"?
"codino75":
forse basta trovare un esempio semplice (anche banale) in cui si dimostra che non c'e' periodicita' per periodi minori di P
ed il gioco e' fatto, in quanto dobbiamo metterci nelle condizioni piu' generali possibile
mi autoquoto.
Scusate se insisto, ma forse non ho capito bene quello che avete detto... Nella pagina linkata c'è scritto che la funzione costante non si può considerare come funzione periodica, perché non si può determinare un periodo minimo, ora se considero queste due funzioni:
$f(x)=\sin(2\pi x)$ e $g(x)=1-\sin(2 \pi x)$
entrambe sono periodiche di periodo $1$, ma la loro somma è costante, dunque, per quanto detto in quella pagina, non periodica.
$f(x)=\sin(2\pi x)$ e $g(x)=1-\sin(2 \pi x)$
entrambe sono periodiche di periodo $1$, ma la loro somma è costante, dunque, per quanto detto in quella pagina, non periodica.
"Tipper":
Scusate se insisto, ma forse non ho capito bene quello che avete detto... Nella pagina linkata c'è scritto che la funzione costante non si può considerare come funzione periodica, perché non si può determinare un periodo minimo, ora se considero queste due funzioni:
$f(x)=\sin(2\pi x)$ e $g(x)=1-\sin(2 \pi x)$
entrambe sono periodiche di periodo $1$, ma la loro somma è costante, dunque, per quanto detto in quella pagina, non periodica.
sta storia che 1 non e' periodica non mi va proprio giu'
))
# f(x) = k (funzione costante). Ogni numero reale positivo è, banalmente, un periodo per questa funzione.
Tratto da quel sito,quindi h(x)=1 è periodica. O che sono diventato scemo.
Tratto da quel sito,quindi h(x)=1 è periodica. O che sono diventato scemo.
e cmq, il tuo esempio non è nelle mie richieste. se ad esempio ho sin(x) come f(x) la mia richiesta riguardava sin(ax+b) non 1-sin(x) o altre siffate funzioni. Forse è pr questo che non ci capiamo.
Definizione
Sia data una funzione reale di variabile reale, $x \mapsto f(x)$ e si consideri l'insieme $A=\{p \in \mathbb{R} \wedge p " è un periodo per "f\}$. Il minimo di $A$, diciamolo $T$, se esiste, si chiama minimo periodo o, semplicemente, periodo della funzione $f$ e la funzione stessa si dice periodica di periodo $T$. Se il minimo di $A$ non esiste la funzione non si dice periodica.
Sempre tratto dalla stessa fonte.
Sia data una funzione reale di variabile reale, $x \mapsto f(x)$ e si consideri l'insieme $A=\{p \in \mathbb{R} \wedge p " è un periodo per "f\}$. Il minimo di $A$, diciamolo $T$, se esiste, si chiama minimo periodo o, semplicemente, periodo della funzione $f$ e la funzione stessa si dice periodica di periodo $T$. Se il minimo di $A$ non esiste la funzione non si dice periodica.
Sempre tratto dalla stessa fonte.
Se la f ha periodo $T_f$ e g ha periodo $T_g$, allora:
$f(ax+k)$ ha periodo $(T_f)/a$
$g(bx+h)$ ha periodo $(T_g)/b$;
quindi la funzione:
$h(x)=f(ax+k)+g(bx+h)$ ha periodo pari al $m.c.m.((T_f)/a,(T_g)/b)$
$f(ax+k)$ ha periodo $(T_f)/a$
$g(bx+h)$ ha periodo $(T_g)/b$;
quindi la funzione:
$h(x)=f(ax+k)+g(bx+h)$ ha periodo pari al $m.c.m.((T_f)/a,(T_g)/b)$
Scusate la mia piccola intromissione... avrei una domanda che spero non vi 'imbarazzi': e se $alpha=(T_f)/(T_g)$ fosse irrazionale?... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Scusate la mia piccola intromissione... avrei una domanda che spero non vi 'imbarazzi': e se $alpha=(T_f)/(T_g)$ fosse irrazionale?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
in questo caso la funzione somma e la funzione prodotto non sono periodiche, mi sembra
"blackdie":
e cmq, il tuo esempio non è nelle mie richieste. se ad esempio ho sin(x) come f(x) la mia richiesta riguardava sin(ax+b) non 1-sin(x) o altre siffate funzioni. Forse è pr questo che non ci capiamo.
Infatti.
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