Periodicità....
ciao a tutti devo calcolare la periodicità di una funzione(trigonometrica) so la condizione ma non so come si fa analiticamente... per esempio ho la funzione:
$f(x)=(3cosx)/(2sin^2 x-1)$ per calcolare la periodicità devo verificare che $f(x+T)=f(x)$ $ AA x in D$ perciò $f(x+T)=(3cos (2pi))/(2sin^2 (2pi-1))$ e poi come si continua???
$f(x)=(3cosx)/(2sin^2 x-1)$ per calcolare la periodicità devo verificare che $f(x+T)=f(x)$ $ AA x in D$ perciò $f(x+T)=(3cos (2pi))/(2sin^2 (2pi-1))$ e poi come si continua???
Risposte
ho letto tutto l'articolo...la ricerca della periodicità delle funzioni è molto più difficile di quanto pensassi...
nel mio caso quello che ho potuto capire è che essendo la funzione composta da seno e coseno, che sono le funzioni periodiche base di tutte le altre, ho dedotto che la mia funzione è periodica...
il numeratore ha periodo $T_1=2pi$; il denominatore ha periodo $T_2=2pi$ quindi il periodo della funzione è uguale alla metà dei periodi di $T_1$ e $T_2$ ovvero
$f(x+2pi)= pi$ giusto????
nel mio caso quello che ho potuto capire è che essendo la funzione composta da seno e coseno, che sono le funzioni periodiche base di tutte le altre, ho dedotto che la mia funzione è periodica...
il numeratore ha periodo $T_1=2pi$; il denominatore ha periodo $T_2=2pi$ quindi il periodo della funzione è uguale alla metà dei periodi di $T_1$ e $T_2$ ovvero
$f(x+2pi)= pi$ giusto????
Non è giusto!
Siccome $cos(x)$ e $sen(x)$ sono periodiche di periodo $2pi$, allora $cos(x+2pi) = cos(x)$ e $sen(x+2pi)=sen(x)$.
Quindi
$f(x + 2pi) = (3cos(x+2pi))/(2sen^2(x+2pi)-1) = (3cos(x))/(2sen^2(x)-1) = f(x)$.
Siccome $cos(x)$ e $sen(x)$ sono periodiche di periodo $2pi$, allora $cos(x+2pi) = cos(x)$ e $sen(x+2pi)=sen(x)$.
Quindi
$f(x + 2pi) = (3cos(x+2pi))/(2sen^2(x+2pi)-1) = (3cos(x))/(2sen^2(x)-1) = f(x)$.
ah ho capito....cioè il coseno di un angolo $x$ dopo una rotazione completa di $2pi$ è dinuovo il coseno di quell'angolo $x$, idem per il seno... dunque la mia funzione è periodica di periodo $2pi$
ma se al denominatore anzichè il seno avevamo un'altra funzione sempre trigonometrica ma di periodo $pi$ ad esempio la tangente, il periodo quale era??? nessuno?
ma se al denominatore anzichè il seno avevamo un'altra funzione sempre trigonometrica ma di periodo $pi$ ad esempio la tangente, il periodo quale era??? nessuno?
In realtà il periodo della funzione a denominatore è $pi$, basta osservare che:
$cos2x=1-2sin^2x$
$cos2x=1-2sin^2x$
ehmmmm, adesso sono confuso.... perchè è $pi$???
Io mi riferisco alla funzione a denominatore: $d(x): =2sin^2x-1=-(1-2sin^2x)=-cos2x$.
E come tu sai, il periodo delle funzioni $y=sinomega x,y=cosomega x$ è $T=(2pi)/omega$
dunque $T_d=(2pi)/2=pi$ e questa cosa è osservabile dal grafico della funzione $d$:
e come c'è scritto nella pag. linkata da Delirium:
"Se due funzioni hanno periodo $T_1$ e $T_2$, allora il loro quoziente ha periodo uguale al minimo comune multiplo di $T_1$ e $T_2$, se i periodi sono diversi; ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i periodi sono uguali. "
per cui i conti tornano
E come tu sai, il periodo delle funzioni $y=sinomega x,y=cosomega x$ è $T=(2pi)/omega$
dunque $T_d=(2pi)/2=pi$ e questa cosa è osservabile dal grafico della funzione $d$:
e come c'è scritto nella pag. linkata da Delirium:
"Se due funzioni hanno periodo $T_1$ e $T_2$, allora il loro quoziente ha periodo uguale al minimo comune multiplo di $T_1$ e $T_2$, se i periodi sono diversi; ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i periodi sono uguali. "
per cui i conti tornano
dunque i periodi sono diversi e devo fare il minimo comune multiplo... però non sono sotto forma di frazioni ho $2pi+pi$, il periodo perchè è $2pi$....Comunque non è meglio il metodo di chiaraotta è meno incasinato....
Devi fare l'$m.c.m.$ tra il periodo della funzione a numeratore ed il periodo della funzione al denominatore se i periodi delle due funzioni sono diversi; poiché $T_n=2pi$, banalmente, poiché $n(x): =3cosx$ è la funzione coseno (di periodo $2pi$) che ha subìto una dilatazione in ordinata (dunque non è stata alterata in ascissa, e quindi il periodo non viene modificato) e $T_d=pi$ allora l'$m.c.m.$ tra $2pi$ e $pi$ è $2pi$ quindi possiamo concludere che $T_f=2pi$.
Sai dirmi il periodo di questa funzione $f(x)=sinxcosx$?
Sai dirmi il periodo di questa funzione $f(x)=sinxcosx$?
è una domanda a trabocchetto sarei tentato a dire $2pi$ ma ho letto l'articolo ieri e direi che il periodo è $pi$... però non ho ancora capito perchè....
Allora devi tenere bene a mente le formule della duplicazione del seno e del coseno:
$sin2alpha=2sin alpha cos alpha$
$cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=1-2sin^2alpha=2cos^2alpha-1$
La funzione $f(x)=sinxcosx=1/2sin2x$ ha periodo $T=(2pi)/2=pi$ ed il suo grafico è il seguente:
$sin2alpha=2sin alpha cos alpha$
$cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=1-2sin^2alpha=2cos^2alpha-1$
La funzione $f(x)=sinxcosx=1/2sin2x$ ha periodo $T=(2pi)/2=pi$ ed il suo grafico è il seguente:
ma nelle formula del periodo $omega$ perchè è uguale a due??? perchè è il coefficiente di $sin2x$???
volevo fare una domanda dato mi trovo... il dominio di $f(x)=(3cosx)/(2sin^2 x-1)$ perchè il libro dice che è $[0;2pi]!={pi/4}$??? io ho trovato $[0;2pi] != {pi/4; 7/4pi}$????!!!!
Sì, esatto. Il fatto che [tex]T=\frac{2\pi}{\omega}[/tex] può essere esteso a qualunque funzione del tipo
[tex]\begin{split}
&y=\phi\cos(\omega x+a)+b\\
&y=\phi\sin(\omega x+a)+b
\end{split}[/tex]
con [tex]\phi,\omega,a,b\in\mathbb{R}[/tex], (ossia funzioni ottenute mediante trasformazioni lineari dalle funzioni elementari seno e coseno).
Per quanto riguarda il dominio:
[tex]\begin{split}
&2\sin^2x-1=-\cos{2x}\neq0\\
&x\neq\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\quad(k\in\mathbb{R})
\end{split}[/tex]
Nell'intervallo [tex]\mathopen{[}0;2\pi\mathclose{]}[/tex] dobbiamo escludere i valori: [tex]\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}[/tex], quindi [tex]\underset{x\in\mathopen{[}0;2\pi\mathclose{]}}{\mathrm{dom}f(x)}=\mathopen{[}0;\frac{\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{7\pi}{4};2\pi\mathclose{]}[/tex].
[tex]\begin{split}
&y=\phi\cos(\omega x+a)+b\\
&y=\phi\sin(\omega x+a)+b
\end{split}[/tex]
con [tex]\phi,\omega,a,b\in\mathbb{R}[/tex], (ossia funzioni ottenute mediante trasformazioni lineari dalle funzioni elementari seno e coseno).
Per quanto riguarda il dominio:
[tex]\begin{split}
&2\sin^2x-1=-\cos{2x}\neq0\\
&x\neq\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\quad(k\in\mathbb{R})
\end{split}[/tex]
Nell'intervallo [tex]\mathopen{[}0;2\pi\mathclose{]}[/tex] dobbiamo escludere i valori: [tex]\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}[/tex], quindi [tex]\underset{x\in\mathopen{[}0;2\pi\mathclose{]}}{\mathrm{dom}f(x)}=\mathopen{[}0;\frac{\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\mathclose{[}\cup\mathopen{]}\frac{7\pi}{4};2\pi\mathclose{]}[/tex].
ok io ho mancato delle soluzioni.....ho fatto così: $2sin^2x-1!=0 $ $rarr$ $sin^2x!=1/2$ $rarr$ $sinx!=-(sqrt2)/2 uu sinx!=+(sqrt2)/2$......però comunque il libro mi riporta: in $[0;2pi]$: il dominio è $[0;2pi]$ escluso $pi/4$...
forse però ho capito dive sbaglio, il libro non riporta specificamente con le parentesi qual'è l'argomento del seno...
dunque mi vienen da pensare il dominio della funzione:
$f(x)=(3cosx)/(2sin^2(x-1))$ è rappresentato da $2sin^2(x-1)!=0$ però in questo caso deve essere $x!=pi/2$.. e manco mi trovo come al libro....
forse però ho capito dive sbaglio, il libro non riporta specificamente con le parentesi qual'è l'argomento del seno...
dunque mi vienen da pensare il dominio della funzione:
$f(x)=(3cosx)/(2sin^2(x-1))$ è rappresentato da $2sin^2(x-1)!=0$ però in questo caso deve essere $x!=pi/2$.. e manco mi trovo come al libro....
Se le parentesi non ci sono può voler dire una ed una sola cosa... che non ci sono Che libro hai? Editore, titolo, casa ed.
Che libro hai? Editore, titolo, casa ed.
Lo ha scritto il mio prof....
Così sono ancora più curioso! Ti ho fatto lo studio fino alla derivata prima, così puoi verificare da te che il dominio da me indicato è corretto (forse anche qualcosa di più); spero non ci siano errori, anche se probabilmente ci saranno 
http://i55.tinypic.com/1z50ps9.jpg
http://i54.tinypic.com/35l9n2r.jpg(*)
http://i56.tinypic.com/nwhhsg.jpg
http://i52.tinypic.com/2ef2k40.jpg
mentre questo è l'output di Mathematica 8.0
Aggiungo per completezza le seguenti informazioni:
Continuità rispetto a [tex]\mathbb{R}[/tex]:
la funzione non è continua su [tex]\mathbb{R}[/tex] in quanto presenta discontinuità di seconda specie in [tex]x=\frac{\pi}{4},x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5\pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex] in generale [tex]x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex];
Asintoti obliqui/orizzontali:
i limiti per [tex]\pm\infty[/tex] non esistono;
Asintoti verticali:
[tex]x=\frac{\pi}{4},x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5\pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex] in generale [tex]x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex].
Edit: nella terza riga della derivata prima (*): [tex]-\sin{x}(2\cos^2x-1)=-2\cos^2x\sin{x}+\sin{x}[/tex].
Ti ho fatto lo studio fino alla derivata prima, così puoi verificare da te che il dominio da me indicato è corretto (forse anche qualcosa di più); spero non ci siano errori, anche se probabilmente ci saranno http://i55.tinypic.com/1z50ps9.jpg
http://i54.tinypic.com/35l9n2r.jpg(*)
http://i56.tinypic.com/nwhhsg.jpg
http://i52.tinypic.com/2ef2k40.jpg
mentre questo è l'output di Mathematica 8.0
Aggiungo per completezza le seguenti informazioni:
Continuità rispetto a [tex]\mathbb{R}[/tex]:
la funzione non è continua su [tex]\mathbb{R}[/tex] in quanto presenta discontinuità di seconda specie in [tex]x=\frac{\pi}{4},x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5\pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex] in generale [tex]x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex];
Asintoti obliqui/orizzontali:
i limiti per [tex]\pm\infty[/tex] non esistono;
Asintoti verticali:
[tex]x=\frac{\pi}{4},x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5\pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex] in generale [tex]x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex].
Edit: nella terza riga della derivata prima (*): [tex]-\sin{x}(2\cos^2x-1)=-2\cos^2x\sin{x}+\sin{x}[/tex].
ma ti posso fare una domanda sulla positività?....per la positività studiamo quando il numeratore e il denominatore sono maggiore di zero; per numeratore mi trovo come te per il denominatore no....
devo studiare quando: $2sin^2x-1>0$ $rarr$ $sinx<-(sqrt2)/2 uu sinx>+(sqrt2)/2$ quindi devo risolvere il sistema ${(sinx<-(sqrt2)/2),(sinx>+(sqrt2)/2):}$; trovate le soluzioni di queste due equazioni le devo unire o intersecare???? Se le devo unire non devo prendere tutti i tratti continui, invece se faccio intersezione non devo prendere solo i tratti che sono unicamente continui???
comunque in entrambi i casi non mi trovo.....se $2sin^2x-1=$ $cos2x$ allora o risolvere $2sin^2x-1>0$ o $cos2x>0$ dovrebbe dare stessi risultati.....
devo studiare quando: $2sin^2x-1>0$ $rarr$ $sinx<-(sqrt2)/2 uu sinx>+(sqrt2)/2$ quindi devo risolvere il sistema ${(sinx<-(sqrt2)/2),(sinx>+(sqrt2)/2):}$; trovate le soluzioni di queste due equazioni le devo unire o intersecare???? Se le devo unire non devo prendere tutti i tratti continui, invece se faccio intersezione non devo prendere solo i tratti che sono unicamente continui???
comunque in entrambi i casi non mi trovo.....se $2sin^2x-1=$ $cos2x$ allora o risolvere $2sin^2x-1>0$ o $cos2x>0$ dovrebbe dare stessi risultati.....
Ma [tex]\cos{2x}=1-2\sin^2{x}[/tex] (studiando la positività, il segno meno l'ho portato davanti alla frazione) quindi studiando [tex]2\sin^2x-1>0[/tex] dovresti trovare gli intervalli complementari (ma sempre aperti) a quelli indicati da me.
Alla prima domanda ti sei già risposto da solo: [tex]\sin{x}<-\frac{\sqrt2}{2}\cup\sin{x}>\frac{\sqrt2}{2}[/tex], quindi non devi mettere a sistema gli intervalli che trovi ma devi unirli, cioè prendere le soluzioni contenute o nell'uno o nell'altro intervallo. Nello specifico:
le soluzioni sono [tex]\frac{\pi}{4}< x <\frac{3\pi}{4}\cup\frac{5\pi}{4}< x <\frac{7\pi}{4}[/tex].
Alla prima domanda ti sei già risposto da solo: [tex]\sin{x}<-\frac{\sqrt2}{2}\cup\sin{x}>\frac{\sqrt2}{2}[/tex], quindi non devi mettere a sistema gli intervalli che trovi ma devi unirli, cioè prendere le soluzioni contenute o nell'uno o nell'altro intervallo. Nello specifico:
le soluzioni sono [tex]\frac{\pi}{4}< x <\frac{3\pi}{4}\cup\frac{5\pi}{4}< x <\frac{7\pi}{4}[/tex].
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