Perchè non posso calcolare questa potenza?
Sugli appunti c'è scritto che esiste perchè 9 è dispari, ma nessuna calcolatrice me la calcola , dicono CHE NON E' REALE (è un numero complesso):
$ (-2)^(7/9) $
Ma allora esiste anche (non reale) questa $ (-2)^(7/8) $ !
(mentre negli appunti c'è scritto che questa non esiste perchè 8 è pari !
Grazie
$ (-2)^(7/9) $
Ma allora esiste anche (non reale) questa $ (-2)^(7/8) $ !
(mentre negli appunti c'è scritto che questa non esiste perchè 8 è pari !
Grazie
Risposte
$(-2)^(7/9)= root(9)((-2)^7) $ é reale?
Lascia perdere la calcolatrice. Ti ricordo che:
$ a^{m/n} = root(n)(a^m), \forall n,m \in NN, n != 0 $
E anche che:
$ root(n)(a) = -root(n)(-a), \forall a \in RR, a < 0, \forall n \in NN, "n dispari" $
$ a^{m/n} = root(n)(a^m), \forall n,m \in NN, n != 0 $
E anche che:
$ root(n)(a) = -root(n)(-a), \forall a \in RR, a < 0, \forall n \in NN, "n dispari" $
Per quanto avevo studiato all'inizio dell'università (o alla fine del liceo, non so), le calcolatrici così come i linguaggi di programmazione non hanno l'elevamento a potenza così come lo usiamo noi, ma risolvono in modo generale con una ben nota proprietà di esponenziali e logaritmi
$a^b = e^(b (log(a))$
che presuppone $a > 0$ per l'esistenza del logaritmo e che, quindi, dà errore se la base per l'elevamento a potenza è negativa.
Perché questo?
Per alcune questioni connesse tra loro:
- primo per poter estendere l'elevamento a potenza per ogni esponente reale, quindi anche per poter calcolare - che ne so - $e^(\sqrt(2))$;
- secondo, ma collegato al primo, perché esistono formule numeriche "più semplici" (a livello di calcolo) per il calcolo dei valori di esponenziali e logaritmi con un qualsivoglia livello di approssimazione (azzardo la formula di Taylor, ma credo che non sia l'unica, solo che non me lo ricordo).
Qui mi fermo. Non entro nei meandri della complessità computazionale e nemmeno nelle serie di Taylor.
Poi ci sono di certo le questioni relative a radicali numerici e radicali algebrici ma non sono la persona migliore per spiegarle.
$a^b = e^(b (log(a))$
che presuppone $a > 0$ per l'esistenza del logaritmo e che, quindi, dà errore se la base per l'elevamento a potenza è negativa.
Perché questo?
Per alcune questioni connesse tra loro:
- primo per poter estendere l'elevamento a potenza per ogni esponente reale, quindi anche per poter calcolare - che ne so - $e^(\sqrt(2))$;
- secondo, ma collegato al primo, perché esistono formule numeriche "più semplici" (a livello di calcolo) per il calcolo dei valori di esponenziali e logaritmi con un qualsivoglia livello di approssimazione (azzardo la formula di Taylor, ma credo che non sia l'unica, solo che non me lo ricordo).
Qui mi fermo. Non entro nei meandri della complessità computazionale e nemmeno nelle serie di Taylor.
Poi ci sono di certo le questioni relative a radicali numerici e radicali algebrici ma non sono la persona migliore per spiegarle.
"Zero87":
Per quanto avevo studiato all'inizio dell'università (o alla fine del liceo, non so), le calcolatrici così come i linguaggi di programmazione non hanno l'elevamento a potenza così come lo usiamo noi, ma risolvono in modo generale con una ben nota proprietà di esponenziali e logaritmi
$a^b = e^(b (log(a))$
che presuppone $a > 0$ per l'esistenza del logaritmo e che, quindi, dà errore se la base per l'elevamento a potenza è negativa.
.
però $ (-2)^3$ la calcolatrice lo calcola .....(esponente intero)
"Bokonon":
$(-2)^(7/9)= root(9)((-2)^7) $ é reale?
capito, è un numero complesso.
"olanda2000":
[quote="Bokonon"]$(-2)^(7/9)= root(9)((-2)^7) $ é reale?
capito, è un numero complesso.[/quote]
No. È reale, ti basta applicare quello che ti ho scritto nel mio precedente post.
"olanda2000":
però $ (-2)^3$ la calcolatrice lo calcola .....(esponente intero)
La mia no...
(però è una casio degli anni '90, non so se sia la vecchiaia
)Comunque il problema sono le radici - difatti prima ho accennato alla questione radicali algebrici e radicali numerici.
"Zero87":
[quote="olanda2000"]però $ (-2)^3$ la calcolatrice lo calcola .....(esponente intero)
La mia no...
(però è una casio degli anni '90, non so se sia la vecchiaia
)[/quote]Ovviamente Zero stai scherzando. Il problema sono le radici di numeri negativi, non le potenze.
"fabio_cc":
[quote="olanda2000"][quote="Bokonon"]$ (-2)^(7/9)= root(9)((-2)^7) $ é reale?
capito, è un numero complesso.[/quote]
No. È reale, ti basta applicare quello che ti ho scritto nel mio precedente post.[/quote]
Ni ad entrambi.
Il problema arriva sostanzialmente che la radice complessa è una funzione polidroma (ovvero ad un unico \(x\) sono associate più \(f(x) \) ) e dal fatto che il logaritmo complesso pure è una funzione polidroma. E quindi la risposta è: dipende dal contesto.
Siccome la radice è polidroma allora bisogna scegliere una radice chiamata principale. Analogamente a quanto avviene per \( \sqrt{4} = 2 \). Si sceglie convenzionalmente che \(2\) è la radice principale di \( \sqrt{4} \), però anche \(\sqrt{4}=-2\) sarebbe corretto. Semplicemente se si vuole rendere \( \sqrt{\cdot} \) una funzione bisogna scegliere una sola radice tra tutte quelle possibili. Solitamente lo si sceglie in modo che la radice sia una funzione "bella", ovvero ha proprietà come la continuità etc.. in modo analogo anche nel piano complesso puoi farlo.
Vogliamo costruire la radice \(n\)-esima reale in modo tale che sia la funzione "inversa" della funzione \( x \mapsto x^n \).
Prendi \(n \) pari:
Chiaramente \( x^n \geq 0 \), e non è biiettiva, quindi dobbiamo rendere \(x^n \) biiettiva per poter costruire la sua inversa, siccome se \(x \geq 0 \) allora \( x^n = (-x)^n \) togliamo tutta la retta reale negativa per fare l'inversione. Nulla ti impedisce di togliere la retta reale positiva e definire una radice solo sui negativi, però è meno intuitivo. Prendiamo dunque come codominio della funzione "inversa" \( \sqrt[n]{\cdot} \) solo la retta positiva, infatti restringendo il dominio della funzione \(x \mapsto x^n \) a \( \mathbb{R}_{\geq 0} \) l'abbiamo resa iniettiva. Dobbiamo ancora restringere l'insieme di arrivo per renderla suriettiva. Restringiamolo dunque a \( \mathbb{R}_{\geq 0} \). Ora abbiamo che \( \cdot^n : \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0} \) è biiettiva. Dunque possiamo definire l'inversa e scegliere \( \sqrt[n]{\cdot} : \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0} \). Questa è convenzionalmente la radice.
Nulla ti impedisce di scegliere sempre quella negativa \( \sqrt[n]{\cdot} : \mathbb{R}_{ \geq 0} \to \mathbb{R}_{\leq 0} \). Perché avresti potuto rendere la funzione di partenza biiettiva anche così \( \cdot^{n} : \mathbb{R}_{\leq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0} \).
Se \(n\) è dispari:
Allora la funzione \( \cdot^n : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è già biiettiva di suo, quindi puoi definire subito \( \sqrt[n]{\cdot} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) su tutto \( \mathbb{R} \) senza alcun problema.
Come puoi vedere \( (-2)^{7} = -128 < 0 \) quindi per questo numero non è possibile calcolare \( \sqrt[8]{-128} \) perché non è definito.
Mentre per \( \sqrt[9]{\cdot} \) è definito come l'unico numero reale tale che \( y^9 = (-2)^7 = -128 \) quindi \( \sqrt[9]{(-2)^7}= - \sqrt[9]{128} \).
Il motivo per cui la tua calcolatrice non sa calcolare \( \sqrt[9]{-128} \) è dovuto al fatto che il suo risultato dipende dal contesto. Mi spiego meglio. Fino ad ora stiamo parlando di radice reale. Ma puoi fare una cosa simile anche nel piano complesso. E questa cosa è un po' più difficile, non è argomento da liceo, ma sostanzialmente l'idea è la medesima. Vuoi rendere \( r_n : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione "bella" in un qualche modo, e anche sui complessi la radice è una funzione polidroma, ma il motivo è legato alla periodicità sull'asse immaginario dell'esponenziale. Analogamente a quanto fatto sui reali si definisce dunque una radice complessa, detta, radice principale e la si definisce nel modo seguente.
Prima di tutto bisogna scegliere un argomento principale (un angolo) e solitamente lo si sceglie \( - \pi < \theta \leq \pi \). Allora la radice principale \(r_n \) è definita per un numero complesso \( z= \left| z \right| e^{i \theta} \), come
\[z \mapsto r_n(z) = e^{i \theta/n} \sqrt[n]{\left|z\right|} \]
dove \( \sqrt[n]{\cdot} \) è la radice n-esima reale usuale.
Con questa definizione di radice \(9\)-esima principale , abbiamo siccome \( (-2)^7 = \left( \left| 2 \right| e^{ \pi i } \right)^7 = \left| 2^7 \right| e^{7 \pi i } = \left| 2^7 \right| e^{ \pi i } \) che allora
\[ r_9 \left( \left| 2^7 \right| e^{ \pi i } \right) = e^{ \pi i /9 } \sqrt[9]{128} \]
Ora quest'ultimo numero è complesso e non reale.
Quindi a dipendenza del contesto \( (-2)^{7/9} \) ha significati differenti. Ora la tua calcolatrice probabilmente non sa interpretarlo. Nel senso che il programmatore non gli ha detto quale radice scegliere in caso di "dubbio" e quindi ti restituisce errore.
Edit: la tua calcolatrice ti dice che è complesso (non ti dice errore scusa) perché prenderà nel caso di dubbio la seconda convenzione di radice complessa principale e non quella reale.
A 3m0o:
Giustissimo, ma dato che si tratta di scuole superiori e dato che l'equazione $ x^9 = (-2)^7 $ una soluzione reale ce l'ha (oltre alle altre otto complesse) ed appunto è $ -root(9)(2^7) $, ho pensato (forse con leggerezza) di dargli quella come radice.
Giustissimo, ma dato che si tratta di scuole superiori e dato che l'equazione $ x^9 = (-2)^7 $ una soluzione reale ce l'ha (oltre alle altre otto complesse) ed appunto è $ -root(9)(2^7) $, ho pensato (forse con leggerezza) di dargli quella come radice.
"fabio_cc":
A 3m0o:
Giustissimo, ma dato che si tratta di scuole superiori e dato che l'equazione $ x^9 = (-2)^7 $ una soluzione reale ce l'ha (oltre alle altre otto complesse) ed appunto è $ -root(9)(2^7) $, ho pensato (forse con leggerezza) di dargli quella come radice.
Si hai fatto bene, ma la mia era una risposta al perché la calcolatrice gli dice che è complesso. Perché evidentemente la calcolatrice prende come convenzione la radice principale complessa
Aggiungo per olanda2000:
i tuoi appunti parlano della radici reali e hanno ragione in questo contesto.
Le calcolatrici ed in generale si prende come contesto la radice complessa. Ecco perché \((-2)^{7/8}\) esiste (non reale ma esclusivamente complesso) per le calcolatrici e per i tuoi appunti no.
i tuoi appunti parlano della radici reali e hanno ragione in questo contesto.
Le calcolatrici ed in generale si prende come contesto la radice complessa. Ecco perché \((-2)^{7/8}\) esiste (non reale ma esclusivamente complesso) per le calcolatrici e per i tuoi appunti no.
"@melia":
Ovviamente Zero stai scherzando. Il problema sono le radici di numeri negativi, non le potenze.
Sì, infatti, l'avevo detto anche nel mio intervento precedente che parlavo anche di radicali algebrici e geometrici e che spesso tu hai risposto sempre in maniera eccellente in questo campo.
Forse poi mi sono lasciato un po' andare e/o l'ho presa alla leggera, semmai poi edito il messaggio.
Premesso che questa è la milionesima discussione sull'argomento ( 
), io la faccio più semplice (anche vista la sezione).
È solo una questione di definizione, quella più comunemente accettata afferma che una potenza con esponente NON intero deve avere una base positiva.
Questo per evitare ambiguità; l'espressione $(-2)^(7/9)$ lo è dato che abbiamo l'equivalenza $7/9=14/18$ da cui $(root(18)(-2))^14$ per esempio.
Cordialmente, Alex
), io la faccio più semplice (anche vista la sezione).È solo una questione di definizione, quella più comunemente accettata afferma che una potenza con esponente NON intero deve avere una base positiva.
Questo per evitare ambiguità; l'espressione $(-2)^(7/9)$ lo è dato che abbiamo l'equivalenza $7/9=14/18$ da cui $(root(18)(-2))^14$ per esempio.
Cordialmente, Alex
"3m0o":
[quote="fabio_cc"]A 3m0o:
Giustissimo, ma dato che si tratta di scuole superiori e dato che l'equazione $ x^9 = (-2)^7 $ una soluzione reale ce l'ha (oltre alle altre otto complesse) ed appunto è $ -root(9)(2^7) $, ho pensato (forse con leggerezza) di dargli quella come radice.
Si hai fatto bene, ma la mia era una risposta al perché la calcolatrice gli dice che è complesso. Perché evidentemente la calcolatrice prende come convenzione la radice principale complessa[/quote]
"axpgn":
Premesso che questa è la milionesima discussione sull'argomento (
È solo una questione di definizione, quella più comunemente accettata afferma che una potenza con esponente NON intero deve avere una base positiva.
Questo per evitare ambiguità; l'espressione $(-2)^(7/9)$ lo è dato che abbiamo l'equivalenza $7/9=14/18$ da cui $(root(18)(-2))^14$ per esempio.
Cordialmente, Alex
Non mi sembra ambiguo, basterebbe considerare la frazione ad esponente ridotta ai minimi termini.
La "normale" calcolatrice non sa cosa siano i numeri complessi, si "comporta" così per la ragione che ho detto.
A parte il fatto che ridurre ai minimi termini, significa introdurre una condizione in più (e quindi modificare, in un'ultima analisi, il senso dell'operazione), a parte anche il fatto che non è così banale riconoscere una frazione ridotta ai minimi termini (che ne dici di $28067/5083$ ?), avremmo comunque un'operazione non "well defined" come direbbero gli anglosassoni ovvero avresti due scritture assolutamente equivalenti di cui però una è definita e l'altra no: what? Non funziona così la Matematica ...
Inoltre i complessi qui non c'entrano niente, non foss'altro perché vengono "dopo": qui si sta parlando solo di numeri reali, nei complessi il "calcolo" delle radici è fatto in altro modo ...
E comunque, volendo essere tolleranti ( ), si potrebbero accettare esponenti razionali ma con gli irrazionali c'è poco da fare ... (e sareste poi così sicuri da saper sempre distinguere razionali da irrazionali 
? )
Peraltro $root(9)(-128)=-1.714488$, ed è reale.
La funzione $f(x)=x^9$ è monotona strettamente crescente (su tutto $RR$) quindi ha un inversa che, se volete, potete rappresentare così $f(x)=root(9)(x)$
Cordialmente, Alex
A parte il fatto che ridurre ai minimi termini, significa introdurre una condizione in più (e quindi modificare, in un'ultima analisi, il senso dell'operazione), a parte anche il fatto che non è così banale riconoscere una frazione ridotta ai minimi termini (che ne dici di $28067/5083$ ?), avremmo comunque un'operazione non "well defined" come direbbero gli anglosassoni ovvero avresti due scritture assolutamente equivalenti di cui però una è definita e l'altra no: what? Non funziona così la Matematica ...
Inoltre i complessi qui non c'entrano niente, non foss'altro perché vengono "dopo": qui si sta parlando solo di numeri reali, nei complessi il "calcolo" delle radici è fatto in altro modo ...
E comunque, volendo essere tolleranti (
), si potrebbero accettare esponenti razionali ma con gli irrazionali c'è poco da fare ... (e sareste poi così sicuri da saper sempre distinguere razionali da irrazionali ? )Peraltro $root(9)(-128)=-1.714488$, ed è reale.
La funzione $f(x)=x^9$ è monotona strettamente crescente (su tutto $RR$) quindi ha un inversa che, se volete, potete rappresentare così $f(x)=root(9)(x)$
Cordialmente, Alex
"3m0o":
Edit: la tua calcolatrice ti dice che è complesso (non ti dice errore scusa) perché prenderà nel caso di dubbio la seconda convenzione di radice complessa principale e non quella reale.
la mia mi dice ERROR ( anche quelle scientifiche online mi dicono ERROR );
Però $ (-128)^(1/9) $ lo calcolano !
Invece $ (-2)^(7/9) $ non riescono.
Grazie
Perché la tua calcolatrice è un pochino più furba delle altre
Cioè riesce a "capire" che una frazione unitaria corrisponde ad una radice con indice intero (ovvero una "normale" radice)
Cordialmente, Alex
Cioè riesce a "capire" che una frazione unitaria corrisponde ad una radice con indice intero (ovvero una "normale" radice)
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Premesso che questa è la milionesima discussione sull'argomento (
È solo una questione di definizione, quella più comunemente accettata afferma che una potenza con esponente NON intero deve avere una base positiva.
Questo per evitare ambiguità; l'espressione $(-2)^(7/9)$ lo è dato che abbiamo l'equivalenza $7/9=14/18$ da cui $(root(18)(-2))^14$ per esempio.
Cordialmente, Alex
però con l'esponente $ 1/9 = 2/ 18 $ la calcola! Non c'è ambiguità in questo caso?
No, te l'ho scritto appena sopra
La tua calcolatrice è sufficientemente "furba" da distinguere le unità frazionarie $1/n$ dalle altre frazioni e le interpreta come radici dall'indice intero ovvero "normali" radici (molti non accettano radici con indici non interi anzi non naturali cioè definiscono le radici solo con indice intero mentre non c'è problema con le potenze con esponente reale).
Questo anche perché, come ho detto, esiste sempre l'inversa di $f(x)=x^n$, con $x in RR$ e $n$ dispari.
Cordialmente, Alex
La tua calcolatrice è sufficientemente "furba" da distinguere le unità frazionarie $1/n$ dalle altre frazioni e le interpreta come radici dall'indice intero ovvero "normali" radici (molti non accettano radici con indici non interi anzi non naturali cioè definiscono le radici solo con indice intero mentre non c'è problema con le potenze con esponente reale).
Questo anche perché, come ho detto, esiste sempre l'inversa di $f(x)=x^n$, con $x in RR$ e $n$ dispari.
Cordialmente, Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo