Perché mai questa dimostrazione non torna?
Non sono riuscito a trovare la dimostrazione per trovare l'angolo tra due rette. ( se sapete un link in internet dove è spiegata ve ne sarei grato)
Cosi' mi è venuto in mente di provare a farne una da me ma con esiti negativi ovviamente, e solo che mi piacerebbe capire cosa c' è di sbagliato nel mio procedimento.
Per semplicità ho scelto due rette generiche senza l'intercetta:
$ y = mx $
$ y = m'x $
Traccio la retta verticale $ x = 1 $, che interseca rispettivamente in $ m $ e $ m' $ le due rette.
Calcolo le aree dei due triangoli $ ABm $ e $ ABm' $ :
$ A(ABm) = m/2 $
$ A(ABm') = (m')/2 $
faccio la differenza e trovo l'area di $ Amm' $:
$ A(Amm') = (m - m')/2 $
il segmento $ Am $ misura usando Pitagora:
$ Am = sqrt(m^2 + 1) $
il segmento $ Hm' $ (l'altezza relativa a Am) allora misura:
$ Hm' = 2(Amm') / (Am) = (m - m') / sqrt(m^2 + 1) $
ed il segmento $ Am' $:
$ Am' = sqrt(m'^2 + 1) $
per cui la tangente dell'angolo tra le due rette a me risulta:
$ tg(a) = (Hm') / (Am') = (m - m') / (sqrt(m^2 + 1)sqrt(m'^2 + 1)) $
che purtoppo è ben diversa da quella giusta:
$ tg(a) = (m - m') / (mm' + 1) $
Dove sbaglio? Grazie!
Cosi' mi è venuto in mente di provare a farne una da me ma con esiti negativi ovviamente, e solo che mi piacerebbe capire cosa c' è di sbagliato nel mio procedimento.
Per semplicità ho scelto due rette generiche senza l'intercetta:
$ y = mx $
$ y = m'x $
Traccio la retta verticale $ x = 1 $, che interseca rispettivamente in $ m $ e $ m' $ le due rette.
Calcolo le aree dei due triangoli $ ABm $ e $ ABm' $ :
$ A(ABm) = m/2 $
$ A(ABm') = (m')/2 $
faccio la differenza e trovo l'area di $ Amm' $:
$ A(Amm') = (m - m')/2 $
il segmento $ Am $ misura usando Pitagora:
$ Am = sqrt(m^2 + 1) $
il segmento $ Hm' $ (l'altezza relativa a Am) allora misura:
$ Hm' = 2(Amm') / (Am) = (m - m') / sqrt(m^2 + 1) $
ed il segmento $ Am' $:
$ Am' = sqrt(m'^2 + 1) $
per cui la tangente dell'angolo tra le due rette a me risulta:
$ tg(a) = (Hm') / (Am') = (m - m') / (sqrt(m^2 + 1)sqrt(m'^2 + 1)) $
che purtoppo è ben diversa da quella giusta:
$ tg(a) = (m - m') / (mm' + 1) $
Dove sbaglio? Grazie!
Risposte
Ciao, partendo dal tuo disegno puoi notare che $$\theta = \theta_R - \theta_N$$ dove con $theta$ indico l'angolo tra le due rette, con $theta_R$ l'angolo formato dalla retta rossa con l'asse $x$ e con $theta_N$ l'angolo formato dalla nera con l'asse $x$. Applicando la tangente ad entrambi i membri si ottiene $$
\tan \theta = \tan\left(\theta_R - \theta_N\right)
$$ Ora sfruttiamo la formula di sottrazione della tangente, tenendo presente che il coefficiente angolare di una retta rappresenta la tangente dell'angolo formato da essa con l'asse $x$. Con un paio di passaggi si arriva a $$\tan \theta = \frac{m_R - m_N}{1+m_R m_N}$$ Fammi sapere se hai altri dubbi.
\tan \theta = \tan\left(\theta_R - \theta_N\right)
$$ Ora sfruttiamo la formula di sottrazione della tangente, tenendo presente che il coefficiente angolare di una retta rappresenta la tangente dell'angolo formato da essa con l'asse $x$. Con un paio di passaggi si arriva a $$\tan \theta = \frac{m_R - m_N}{1+m_R m_N}$$ Fammi sapere se hai altri dubbi.
Grazie mimonic, volevo arrivarci senza l' utilizzo della formula di sottrazione.
Penso di aver capito l'errore banale che ho commesso, infatti il segmento Hm' è perpendicolare ad Am' e non a Am ora provvedo a verificare se è l'unico.
Penso di aver capito l'errore banale che ho commesso, infatti il segmento Hm' è perpendicolare ad Am' e non a Am ora provvedo a verificare se è l'unico.
Ok ci sono risuscito si arriva comunque...grazie ancora 
Di nulla. 
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